Распределение Бозе–Эйнштейна
Большое каноническое распределение квантовой системы
Многоуровневая квантовая система в виде идеального газа при фиксированных T, V, N описывается каноническим распределением. Система с , обменивающаяся энергией и частицами с термостатом, описывается большим каноническим распределением. Получим это распределение для квантовой системы. Далее найдем распределение частиц по уровням в многоуровневой системе.
Состояние i многоуровневой системы. Ограниченная в пространстве стационарная квантовая система имеет дискретный спектр энергии
,
определяемый плотностью состояний. Частное распределение частиц по уровням энергии образует состояние системы
,
где – число частиц на уровне
. Полная энергия и число частиц в состоянии i
,
. (4.1)
Вероятность состояния i. Используем большое каноническое распределение для классической системы
.
Распределение для квантовой системы имеет аналогичный вид согласно принципу соответствия. Для вероятности дискретного состояния i с числом частиц и энергией
получаем
, (4.2)
где – химический потенциал равновесной системы. Подставляем (4.1) в (4.2)
. (4.2а)
Распределения частиц по уровням энергии. Статистически независимые уровни энергии рассматриваем как подсистемы. По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность состояния системы равно произведению вероятностей состояний ее независимых подсистем
,
где – вероятность нахождения
частиц на уровне k. Сравниваем с (4.2а) и получаем
, (4.3)
. (4.4)
Учтено, что для равновесной системы химический потенциал одинаков для всех подсистем.
Статистическая сумма подсистемы с энергией
находится из условия нормировки
.
Подстановка (4.3) дает
. (4.5)
Для системы в макроскопическом объеме спектр энергии квазинепрерывный . В (4.3) и (4.5) заменяем
и получаем вероятность нахождения n частиц в состоянии с энергией
и статистическую сумму
,
. (4.5а)
Среднее число частиц в состоянии с энергией без учета вырождения по спину, которое учитывается плотностью состояний, находим из определения среднего и (4.5а)
. (4.6)
Результат выражается через статистическую сумму (4.5а)
. (4.7)
Формула (4.7) совпадает с формулой классической теории, подтверждая правило соответствия.
Распределение Ферми–Дирака
Среднее число фермионов в одном состоянии. По принципу Паули в одном состоянии может быть не более одного фермиона, тогда
.
Из (4.5а) и (4.6) находим
,
.
Получаем распределение Ферми–Дирака
(4.8)
– среднее число фермионов в состоянии с энергией e. Поскольку , то
– степень заполнения состояния. Химический потенциал
, где
– концентрация фермионов; m – масса частицы; s – спин фермиона.
Функция распределения. При учитываем
,
тогда
. (4.8а)
Распределение фермионов по энергии при
Согласно принципу Паули, на одном уровне энергии может быть не более двух электронов с противоположными проекциями спина. Попав в систему, электрон стремится занять свободное место с наименьшей энергией. Согласно (4.8а), при уровни с энергией
заполнены полностью, уровни
свободные. При добавлении электрона в систему, он занимает свободное состояние вблизи уровня
, энергия системы увеличивается на
. Следовательно,
возрастает с ростом концентрации электронов. Химический потенциал равен средней энергии частицы, добавляемой в систему. В результате химический потенциал
фермионного газа при
равен энергии самого высокого заполненного уровня.
Наибольшая энергия электрона при называется энергией Ферми eF, соответствующий уровень – уровнем Ферми, в результате
.
При любой температуре согласно (4.8)
выполняется
. (4.8б)
Химический потенциал равновесного газа фермионов равен энергии состояния со степенью заполнения 1/2. При тепловое движение перебрасывает частицы через уровень Ферми, и они занимают уровни с большей энергией, освобождая уровни с меньшей энергией. Прямоугольный график распределения сглаживается.
Плотность состояний увеличивается с ростом энергии, например, для трехмерного газа электронов . Поэтому ширина полосы энергии ниже
, которую освобождают электроны, перебрасываемые тепловым движением, больше ширины полосы, которую они занимают выше
. В результате средняя энергия перебрасываемых электронов, то есть химический потенциал, с увеличением температуры медленно уменьшается.
Для оценки переходной области вблизи μ вычисляем производную распределения по энергии при
. Из (4.8)
получаем
.
При
.
Ширина переходной области увеличивается с ростом температуры. При
ширина переходной области стремится к нулю, и функция
становится прямоугольной.
Распределение Бозе–Эйнштейна
Среднее число бозонов в одном состоянии. Для бозонов допустимо любое число частиц в одном состоянии
.
Из (4.5а)
получаем
.
Сумма является геометрической прогрессией. Она сходится, если основание прогрессии , тогда
. Учитывая
, получаем, что химический потенциал бозонов не может быть положительным
. (4.9)
Суммируем геометрическую прогрессию
,
получаем статистическую сумму
,
.
Подставляем в (4.7)
,
находим
.
Получаем распределение Бозе–Эйнштейна
(4.10)
– среднее число бозонов в состоянии с энергией e. Условие
обеспечивает при любой энергии и температуре. С ростом температуры химический потенциал бозонов медленно уменьшается, а его модуль увеличивается. При
находим
. (4.11)
Чем больше , тем меньше B. В нефизической области при
из (4.10) получаем
.