Правило исследования функции на непрерывность и на разрыв

При исследовании графика функции на разрыв всё зависит от того какое из условий (6.6)

нарушается.

I. Если нарушено условие A в (6.6), то абсциссу можно назвать точкой неопределённости;

II. Пусть условие А выполнено, но нарушено условие В. Тогда абсцисса это точка

бесконечного разрыва графика функции;

Ш. Если условия А и В выполнены, а условие С нарушено, то абсцисса является

точкой конечного разрыва графика функции; Такой разрыв графика называется

скачком;

IV. Пусть условия А, В и С выполнены, но нарушено условие D. Тогда точка это

точка устранимого разрыва графика функции;

Иногда разрыв- скачок называют разрывом первого рода. Бесконечный разрыв называют разрывом второго рода.

Рис.3а рис.3в

На рис.3а у графика в точке бесконечный разрыв. На рис.3в у графика в точке разрыв -скачок.

Пример 6.2. Исследовать на непрерывность данные функции

Решение.1). Данная функция является элементарной функцией (см. опр.1.9).

Из теоремы 6.6 следует, что она непрерывна всюду в области своего задания . Используя правило, исследуем её на непрерывность в точке

Вычисляем левый предел . При величина является отрицательной

б.м. Следовательно, по теореме 6.3 величина будет отрицательной б.б. при .

Откуда .

Вычисляем правый предел . При величина является положительной

б.м. Следовательно, по теореме 6.2 величина будет положительной б.б. при .

Откуда .

Вывод. Функция непрерывна всюду кроме точки . В точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

2). Данная функция является элементарной функцией (см. опр.1.9).

Из теоремы 6.6 следует, что она непрерывна всюду в области своего задания . Используя правило, исследуем её на непрерывность в точке .

Вычисляем левый предел . При величина является положительной б.м. Следовательно, по теореме 6.2 величина будет положительной б.б. при . Откуда .

Вычисляем правый предел . При величина является отрицательной б.м. Следовательно, по теореме 6.3 величина будет отрицательной б.б. при . Откуда .

Вывод. Функция непрерывна всюду кроме точки . В точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Пример 6.3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

Решение. 1) На интервалах функция непрерывна, так как на каждом она является элементарной функцией. Исследуем функцию в пограничных точках и . Для точки имеем

Согласно правилу в точке разрыв первого рода. Разрыв-скачок.

Рис.4

Для точки имеем

Значение функции в точке 3равно . Следовательно, в точке функция

непрерывна. График функции приведён на рис.4.

2) На интервалах функция непрерывна, так как на каждом она является элементарной функцией. Исследуем функцию в точках и .

Для точки имеем

Согласно правилу в точке разрыв первого рода. Разрыв-скачок.

Для точки имеем

Значение функции в точке 2 равно . Следовательно, в точке функция

терпит разрыв. Разрыв-скачок. График функции приведён на рис.5.

Рис.5