РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД

Припустимо, що гра 2´2, задана матрицею А не має сідлової точки і потрібно знайти її рішення S*A={P*1a,P*2a}; S*B={P*1b,P*2b}.

  S1b S2b Відповідно до теореми про активні стратегії, сторона А, дотримуючись оптимальної стратегії S*A забезпечить собі виграш γ навіть, якщо В буде використовувати не оптимальну стратегію S*B, а окремі S1b, S2b.
S1a а11 а12
S2a а21 а22

Тоді а11× P*1a+ а21× P*2a=γ (в B - стратегія S1b) РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

і а12× P*1a+ а22×P*2a=γ (в B - стратегія S2b) (А)

Аналогічно для оптимальної стратегії B - S*B

а11× P*1b+ а21× P*2b= γ (в А - стратегія S) РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

і а12× P*1b+ а22× P*2b= γ (в А - стратегія S) (В)

Невідомими в цих формулах є P*1a, P*2a, P*1b, P*2b та γ, що обчислюються по формулах (рішення системи трьох рівнянь з трьома невідомими).

Для системи (А)

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru ; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru ; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru (4.2)

Для системи (В)

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru ; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru ; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru (4.3)

Для (2 - 3) РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru або РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru тоді РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru та РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru . (4.4)

Виконання (2.4) означає відсутність сідлової точки у матриці А (немає елемента мінімального в рядку і максимального в стовпчику).

Звернемося до геометричної інтерпретації результатів. Нехай SA={P1a,P2a} - довільна змішана стратегія А проти чистої S1b - В і середньоочікуваний виграш γ111×P1b21×P2b=(а1121)P21. Те ж саме відноситься до чистої стратегії В - S2b: γ212×P22×P2b=(а1222)P22.

Але ні S1b, ні S2b не оптимальні для В. Сторона А повинна розраховувати на виграш РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru .

При заданих аij γ1 і γ1 - функції від P, отже й РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru і її значення збігаються або з γ112), або з γ212).

Отже, можна побудувати графік РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru і знайти SA, γ . Для А у залежності від (2.4) буде мати місце або мал.2, або мал.3.

       
    РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
  РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
 

або

Мал.2. Мал.3.

Сторону А цікавить те P1a, при якому РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru - максимальне. Прямі будуються по точках (0,а21); (1,а11); (0,а22); (1,а12). P*1a одержуємо, прирівнюючи γ1 і γ2 Þ (а1121)P21=(а1222)P22, відкіля й одержуємо формулу (2) для P*1a: РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru .

Величини P*1b і P*2b визначаються в залежності від (4) аналогічно, мал.4, мал.5, але в побудовах беруть участь точка (0,а12) і (1,а11) для γ1 і (0,а22) і (1,а21) для γ11 і замість РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru розглядається РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , де γ111×P1b12×P2b, γ1121×P22×P2b і відшукується РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru .

       
    РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
  РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
 

або

Мал.4. Мал.5.

Приклад 5. Дана гра

-1
-3

Знайти оптимальні стратегії сторін. а11=2; а21=-3; а12=-1; а22=4

Переконаємося, що немає сідлових точок.

Обчислимо α =max{-1;-3}=-1, β =min{2;4}=2, α ¹β . По точках (0; -3) і (1;2) будуємо пряму РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , мал.6, по (0;4) і (1;-1) - пряму РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , мал.6. По точках (0;-1) і (1;2) будуємо пряму РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , мал.7, по (0;4) і (1;-3) - пряму РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , мал.7.

       
    РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
  РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru
 

Мал.6. Мал.7.

Max РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru досягається при P*=0,7 і дорівнює 0,5; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru - при P*1b=0,5 і дорівнює 0,5. Слушність можна перевірити по формулах (2 і 3).

Тоді S*A=(0,7;0,3); S*B=(0,5;0,5).

Нехай задана гра 2´n, що не має сідлових точок. Знайдемо її рішення: S*A={P*1a,P*2a}; S*B={P*1b,P*2b,…,P*nb}... Застосовуючи проти кожної із окремих стратегій Sjb S*A, одержимо γ=а11×P*1a21×P*2a;…;γ= =а1n×P*1a2n×P*2a. Точно також, застосовуючи проти кожної Sia S*B, одержимо γ=а11×P*1b12×P*2b+…+ а1n×P*1a; γ =а21×P*1b22×P*2b+…+ а2n×P*nb; РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru .

Аналітичне рішення цих систем більш складне, чим 2´2. Тому вирішимо графічно.   S1b S2b Snb
S1a а11 а12 а1n
S2a а21 а22 а2n

Загальна схема пошуку S*A, S*B:

1) за даними матриці будуємо n прямих γ1=(а1121)P21, γ2=(а1222)P22,…,γn=(а1n2n)P2n, і креслимо графік РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , на ньому знаходиться екстремальна точка (P*1a;γ);

2) вибираються дві будь-які прямі з протилежним нахилом із тих, що перетинаються у цій точці;

3) прямим стратегії, що відповідають цим Srb Skb включаються в гру 2´2 проти S S.

4) отримана гра 2´2 вирішується аналітично за допомогою формул або графічно.

Аналогічно для рішення гри m´2. Єдина відмінність буде полягати в тому, що будують прямі γi=(аi1i2)P1bi2, i=1,2,…,m і знаходимо РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru , мінімум РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru досягається в P*1b і точка (P*1b,γ) використовується для переходу до гри 2´2.

Приклад 6. Дана гра 4´2. Вона не має сідлових точок α =1< β =3. 1) Будуємо прямі γi=(аi1i2)P1bi2, i=1,2,3,4, мал. 8. γ1=(а1112)P1b12=(3-1) ×P1b+1= 2×P1b+1, γ2=(а2122)P1b22= -5P1b+3, γ3=(а3132)P1b32=8P1b-3, γ4=(а4142)P1b42= -1,5P1b+2.   S1b S2b
S1a
S2a -2
S3a -3
S4a 0,5
     

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

Знаходимо P*1b=0,29, γ =1,56. Через цю точку проходять прямі γ1, γ2, γ4. Тому сторона А має три активні стратегії S1a, S2a, S4a.

2) вибираємо з цих трьох прямих дві з протилежними нахилами, наприклад, γ1 та γ2.

3)
-2
одержуємо гру 2´2;

4) знаходимо по формулах

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

РІШЕННЯ ІГОР 2´2, 2´N, M´2. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД - student2.ru

 

Одержали те ж саме, що і графічно. У такий спосіб S*A=(2/7,5/7,0,0), S*B=(2/7,5/7), γ =11/7.

Якщо вибрати γ1 та γ4, то одержимо гру

½

та її рішення S*A=(3/7,0,0,4/7), S*B=(2/7,5/7), γ =11/7.

Наши рекомендации