Исключаем значения угла a , при которых знаменатель дроби sin a
обращается в нуль: sin a ¹ 0; a ¹ p k , k Î Z ;
Ответ: a ¹ p k , k Î Z .
Упражнения:
№1. Вычислить значения остальных тр. функций, если известно значение cos a = - ,
.
№2. Вычислить значения остальных тр. функций, если известно значение сtg a = - 2,5 , .
№3. Вычислить:
а) tg a , если sin a = и
; б) cos a , если сtg a =
и
.
№4. Упростить выражение:
а) ; г)
;
б) ; д)
;
в) ; е)
.
№5. Доказать тождество, указав область допустимых значений:
а) ; г)
;
б) ; д)
;
в) ; е)
.
№6. Доказать, что при всех допустимых значениях a значение выражения не зависит от a :
1) ; 2)
; 3)
.
№7. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) 1 – (cos 2a –- sin 2a ) ; 3) cos 2a · tg 2a + 5 cos 2a – 1 ;
2) 1 – sin a · cos a · tg a ; 4) sin a + 3sin 2a + 3cos 2a .
№8. Доказать тождество:
1) (sin b + sin a ) · ( sin a - sin b ) - (cos a + cos b ) · (cos b – cos a ) = 0;
2) ctg 2 a - cos2a = ctg 2 a · cos2a ;
3) ;
4) .
8. Периодичность тригонометрических функций.
Определение: Функция называется периодической, если существует число T ¹ 0, прибавление которого к любому значению аргумента не меняет значения функции, то есть для любого x из области определения функции
выполняется равенство
.
Число T называется периодом функции .
Определение: Наименьший среди положительных периодов функции называется основным периодом функции.
Теорема: Синус и косинус являются периодическими функциями с основным периодом 2p.
sin a = sin (a + 2p ) при a Î (- ∞ ; + ∞)
cos a = cos (a + 2p ) при a Î (- ∞ ; + ∞)
Теорема: Тангенс и котангенс являются периодическими функциями с основным периодом p.
tg a = tg (a + p )
y |
x |
N |
M |
- x |
y |
a |
a + p |
A |
- y |
x |
x |
A |
y |
a |
x |
M |
y |
Справедлива следующая теорема.
Теорема: К аргументу любой тригонометрической функции можно прибавлять любое целое число периодов. Из аргумента любой тригонометрической функции можно вычитать любое целое число периодов.
sin a = sin (a + 2pк) , к Î Z tg a = tg (a + pк) , к Î Z
cos a = cos (a + 2pк) , к Î Z ctg a = ctg (a + pк) , к Î Z
9. Четность, нечетность тригонометрических функций
Определение: Функция называется четной, если противоположным значениям аргумента x и – x из области определения соответствует одно и то же значение функции, то есть
.
Определение: Функция называется нечетной, если противоположным значениям аргумента x и – x из области определения соответствуют противоположные значения функции, то есть
.
y |
x |
N |
M |
y |
a |
A |
-y |
-x |
-a |
Теорема: Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, косинус является четной функцией.
sin (– a) = –sina , ctg (– a) = – ctga ,
tg (– a) = – tga , cos (– a) = cos a
для всех допустимых значений a .
Пример:
№1. Найти значения тригонометрических функций:
1) cos 10p ; 2) sin 7p ; 3) ; 4) ctg (– 3570º) .
Решение:
1) cos 10p = cos (10p –2p ·5) = cos 0 = 1;
2) sin 7p = sin (7p – 2p ·3) = sin p = 0;
3) ;
4) ctg (– 3570º) = –ctg 3570º =– ctg (3570º – 180º·19) =– ctg (150º–180º) =
= –ctg (–30º) =ctg 30º = .
№2. Вычислить значение выражения: .
Решение:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
5. .
Ответ: .
Упражнения:
№1. Вычислить:
1) ; 3)
;
2) ; 4)
;
5) .
№2. Найти значение выражения А :
1) ;
2) ;
3) .
10. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов.
10.1.
x |
y |
A |
M |
x1 |
y1 |
N |
y2 |
x2 |
Рассмотрим в
.
ОА- начальный радиус .
- радиус-вектор точки М (x1; y1 ), принадлежащей
. a = Ð (ОА , ОМ ) = Ð AO М.
- радиус-вектор точки N (x2 ; y2 ), принадлежащей
. b = Ð (ОА , ОN ) = Ð AO N.
j = a - b = Ð (ОМ , ОN ) = Ð М O N .
Так как уголj = a - b образован векторами (x1; y1 ) и
(x2 ; y2 ) , воспользуемся формулой :
cos (a - b ) = cos a · cos b + sin a · sin b
Косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов данных углов и синусов данных углов.
Пример: Вычислить cos 15°.
Решение: Представим угол 15° в виде разности углов 45° и 30° , воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
cos (a - b) = cos a · cos b + sin a · sin b
cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30° =
Ответ: cos 15° = 0,945.
cos (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b
Косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов данных углов и синусов данных углов.
Пример: Вычислить cos 75°.
Решение: cos 75° = cos (45° + 30° ) = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30° =
Ответ: cos 75° = 0,245.
sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго угла и косинуса первого угла на синус второго угла.
sin (a - b) = sin a · cos b - cos a · sin b
Синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго угла и косинуса первого угла на синус второго угла.
Пример: Вычислить sin (a + b ) , если sin a = , cos b =
,
< a < p , 0 < b <
.
Решение:
Для вычисления sin (a + b) по формуле sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b необходимо найти cos a и sin b . Воспользуемся формулой sin 2 a + cos 2 a = 1 .
cos 2 a = 1 - sin 2 a ; sin 2 b = 1 - cos 2 b ;
; так как
< a < p , cos a < 0 .
sin b = ; так как 0 < b <
, sin b > 0 .
.
Ответ: .
Упражнения:
№1. Вычислить: 1) sin 15° ; 3) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17° ;
2) sin 75° ; 4) sin 57° cos 12° - cos 57° sin 12° .
№2. Упростить:
1) sin 2b · cos b + cos 2b · sin b; 2) sin (a + b)- sin a · cos b ;
3) sin ( +a )-
cos a ; 4)
;
5) sin ( +a ) · cos (a -
) + cos (
+a ) · sin (a -
) ;p < a <
,
6) cos (30° + a ) - cos (30° - a ) .
№3. Вычислить cos ( - a ) , если tg a =
, p < a <
.
№4. Проверить равенство:
а) sin (90° +a ) = cos a ; б) cos (180° +a ) = - cos a ; в) cos (270° -a ) = - sin a .
№5. Упростить:
1) 2)
.