Прямая в пространстве
1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где
и
- нормальные векторы плоскостей
и
.
2) - уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
(каноническое уравнение);
3) - уравнение прямой, проходящей через две точки
,
;
4) -уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
,
(параметрическое уравнение);
Угол , (
) между прямыми
и
:
.
, если
.
, если
.
Кривые на плоскости.
Алгебраическая кривая второго порядка: , где числа
- не равны нулю одновременно.
Классификация кривых второго порядка:
1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при
), эллипс (при
), пустое множество, точку);
2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых);
3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) .
Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.
Окружность. Каноническое уравнение окружности: , где
радиусокружности, точка
-центрокружности.
Нормальное уравнение окружности: .Оно определяет окружность с центром в точке
и радиусом
.
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса: ,
.
Числа и
- большая и малая полуоси эллипса; точки
,
,
,
- вершины; оси
и
- главные оси симметрии; точка
- центр симметрии (или просто центр) эллипса; прямоугольник со сторонами
,
параллельными главным осям симметрии и центром в точке
- основной прямоугольник эллипса; точки
и
, где
- фокусы эллипса; векторы
и
- фокальные радиус-векторы; числа
и
- фокальные радиусы точки
, принадлежащей эллипсу; число
(
) - эксцентриситетэллипса (при
эллипс является окружностью); прямые
и
- директрисы эллипса.
Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы ,
.
Числа и
- действительная и мнимая полуоси гиперболы; точки
,
- вершинами; оси
и
- главные оси симметрии; точка
- центр симметрии (или просто центр) гиперболы; прямоугольник со сторонами
,
параллельными главным осям симметрии и центром в точке
- основной прямоугольник гиперболы; точки
и
, где
- фокусы гиперболы; векторы
и
- фокальные радиус-векторы; числа
и
- фокальные радиусы точки
, принадлежащей гиперболе; число
(
) - эксцентриситетгиперболы; прямые
и
- директрисы гиперболы; прямые
и
называются асимптотами гиперболы (они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы).
Парабола. Каноническое уравнение параболы: ,
.
Число - параметр параболы; ось
- ось симметрии; точка – вершина параболы; точка
- фокус параболы; вектор
- фокальный радиус-вектор; число
- фокальный радиус точки
, принадлежащей параболе; прямая
- директрисапараболы.
Поверхности.
Алгебраическая поверхность второго порядка: , где числа
не равны нулю одновременно.
Сфера. Каноническое уравнение сферы: , где число
-радиуссферы, точка
- центр сферы.
Нормальное уравнение сферы: .Оно определяет сферу с центром в точке
и радиусом
.