Первая основная граничная задача фильтрации
Нелинейный закон фильтрации
Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между
и
принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
![]() | (2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрации с предельным градиентом
![]() | (2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова,
;
- эффективный диаметр пор;
- предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
![]() | (2.64) |
![]() | (2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели;
- характерное значение градиента давления;
- безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).
Лекция 4
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ
(ФОРМУЛА ДЮПЮИ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ)
Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.
Первая основная граничная задача фильтрации
(пласт однородный изотропный пористый )
однородной невесомой жидкостью вязкости заполнены поры пласта
режим ламинарный жесткий или установившийся
Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:
а) однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью ограничен непроницаемыми плоскостями
и
(кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями
(стенка скважины),
(поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия
![]() | (3.55) |
б) поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;
в) фильтрация происходит при жестком или установившемся
ламинарном режиме.
Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде
![]() | (3.56) |
![]() | (3.57) |
Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа
![]() |
Общим решением этого уравнения является функция
![]() | (3.58) |
где и
– постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).
В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):
![]() | (3.59) |
![]() | (3.60) |
где – заданный перепад давления между скважиной и пластом.
При поглощении проявлении
пласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность
, в том числе и через стенку скважины,
![]() | (3.61) |
где ;
– соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м3/Па.с.
Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.