Первая основная граничная задача фильтрации
Нелинейный закон фильтрации
Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости 
(2.58) нарушается и зависимость между 
и 
принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса 
превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
 , | (2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрации с предельным градиентом
 | (2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, 
, а, по данным Б. И. Султанова, 
; 
- эффективный диаметр пор; 
- предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
 , | (2.64) |
 , | (2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь 
- параметры модели; 
- характерное значение градиента давления; 
- безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).
Лекция 4
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ
(ФОРМУЛА ДЮПЮИ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ)
Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.
Первая основная граничная задача фильтрации
(пласт однородный изотропный пористый 
)
однородной невесомой жидкостью вязкости 
заполнены поры пласта
режим ламинарный жесткий 
или установившийся 
Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:
а) однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью 
ограничен непроницаемыми плоскостями 
и 
(кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями 
(стенка скважины), 
(поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия
 | (3.55) |
б) поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;
в) фильтрация происходит при жестком 
или установившемся 
ламинарном режиме.
Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде
 | (3.56) |
 | (3.57) |
Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа
 |
Общим решением этого уравнения является функция
 | (3.58) |
где 
и 
– постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).
В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):
 | (3.59) |
 | (3.60) |
где 
– заданный перепад давления между скважиной и пластом.
При поглощении 
проявлении 
пласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность 
, в том числе и через стенку скважины,
 | (3.61) |
где 
; 
– соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м3/Па.с.
Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.