П.4. Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора навекторное произведение второго вектора на третий и обозначается
.
Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)
1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:
.
2) , если тройка
– правоориентированная и
в противном случае.
Доказательство. 1) Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.
рис.3.
Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н: .
Площадь основания S численно равна модулю векторногопроизведения: , а высота Н равна модулю проекции вектора
на вектор
:
.
Отсюда получаем:
, ч.т.д.
2) Так как
, где
, то знак смешанного произведениязависит от угла
. Если он острый, то смешанное произведение
и
, если угол
– тупой. А это зависит, в свою очередь, от ориентации тройки векторов
. На рисунке 3 изображена правая тройка векторов
. Если смотреть со стороны третьего вектора
, то кратчайший поворот первого вектора
ко второму
осуществляется против часовой стрелки. В этом случае угол
– острый и
. Если же тройка
– левая, то конец вектора
будет лежать нижеплоскости векторов
и
(по сравнению с рис.3) и угол
будет тупым и
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Будем говорить, что тройки векторов и
получились из тройки
с помощью круговой перестановки векторов. В первом случае третий вектор
переставляется на первое место, а векторы
и
сдвигаются вправо на второе и третье места соответственно. Во втором случае, первый вектор
переставляется на третье место, авекторы
и
сдвигаются влево на первое и второе места соответственно. Заметим, что при круговой перестановке векторов ни один из них не остается на своем месте.
Если же в тройке векторов меняются местами только два вектора, а один из векторов остается на своем месте, то такую перестановку мы будем называть не круговой перестановкой (или транспозицией). Так тройки ,
,
получаются из тройки
транспозицией векторов. Так, например, в тройке
остался на третьем месте вектор
.
Любую тройку векторов можно упорядочить 6-ю способами. Из них три тройки будут правыми и три тройки будут левыми.
Если тройка правая (как на рис.3), то правыми будут и тройки полученные из нее круговой перестановкой:
и
. В то же время, тройка
будет левой и левой же будут тройки, полученные из нее круговой перестановкой:
и
.
Лемма. Круговая перестановка в тройке векторов не изменяет ее ориентации, а транспозиция векторов изменяет ориентацию тройки на противоположную.
Доказательство проведите самостоятельно с использованием соответствующих картинок.
1) ;
2) ;
3) .
Доказательство. 1) По модулю все эти смешанные произведения равны друг другу, т.к. параллелепипед, построенный на данных трех векторах, как его ребрах, не зависит от того, в каком порядке мы записываем его ребра и, соответственно, не изменяется его объем.
2) Знак смешанного произведения упорядоченной тройки векторов зависит от ее ориентации, которая не меняется при круговой перестановке и меняется при транспозиции, откуда и следуют доказываемые равенства.
3) Воспользуемся уже доказанным равенством, определением смешанного произведения и свойством коммутативности скалярногопроизведения:
.