Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая l задана уравнением и точка , не принадлежащая прямой l.

Обозначим через d расстояние от точки до прямой l.

Тогда

. (70)

x

y

O

l

d

Пример 24. Дано каноническое уравнение прямой . Написать: а) общее уравнение прямой;б) уравнение прямой в отрезках; в) уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение. а) приведем данное уравнение к общему знаменателю и преобразуем его к виду (56): , - общее уравнение прямой;

б) полученное общее уравнение преобразуем к виду (57): , или - уравнение прямой в отрезках;

в) разрешим полученное общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение (62): , . Здесь ,

Пример 25. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Используя уравнение (58), получим: .

Здесь вектор является направляющим вектором.

Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси ординат отрезок . Определить угол наклона этой прямой к оси Ох.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (57): . По условию . Так как искомая прямая проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (57). Подставляя числовые данные в это уравнение, получим:

, , значит искомое уравнение прямой имеет вид . Для нахождения угла между полученной прямой и осью Ох, преобразуем это уравнение к виду (62): или . Угловой коэффициент , но , то есть . Поэтому .

Пример 27. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых , и образуют угол с осью Ох.

Решение.Найдем координаты точки пересечения данных прямых:

Значит точка пересечения данных прямых . Для составления уравнения искомой прямой воспользуемся уравнением (61). Здесь - координаты точки А, , поэтому уравнение прямой примет вид: или .

Пример 28. Даны сторона параллелограмма , две вершины и , а также . Составить уравнения остальных сторон.

Решение. Проверим, проходит ли данная прямая через указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в уравнение прямой.

: , , значит прямая не проходит через точку А.

: , , поэтому данная прямая проходит через вершину С. Пусть это сторона DC.

x

y

-3

C

A

Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, найдем уравнение стороны, проходящей через точку А параллельно данной прямой. Найдем угловой коэффициент этой прямой:

, ,

, здесь .

В силу условия (65) , тогда уравнение стороны АВ примет вид или

Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С под углом к стороне DC. Угловой коэффициент прямой DC . Найдем , используя условие (63):

, ,

, ,

Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением (61): , или .

Пример 29. Дан треугольник с вершинами , и . Составить уравнение и найти длину высоты СН.

Решение. Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение (60):

, или

Угловой коэффициент прямой АВ .

Высота тогда по условию (66) или .

Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (61): , , или .

Длину высоты СН найдем по формуле (70), как расстояние от точки до прямой АВ :

Таким образом, уравнение высоты СН , а длина высоты СН равна 6.

Пример 30. При каком значении а прямые и а) параллельны; б) перпендикулярны?

Решение. а) нормальный вектор прямой , прямой - . Из условия параллельности двух прямых (68) , , ,

Таким образом, при и данные прямые параллельны.

б) согласно условию перпендикулярности двух прямых (69), получаем:

, ,

, .

Значит, при данные прямые перпендикулярны.