СЛАУ с симметричными положительно определенными матрицами. Метод Холесского
Пусть матрица СЛАУ (5) симметричная и положительно определенная, т.е.: и для любого ненулевого вектора
соответствующей размерности
. Поскольку для положительно определенной матрицы выполняется критерий Сильвестра, то определители всех главных подматриц матрицы
не равны нулю (они строго больше нуля), т.е. для
выполнены условия теоремы об LU-разложении и для нее единственно разложение вида:
,
где - нижняя с единицами на главной диагонали и верхняя треугольные матрицы соответственно, причем диагональные элементы матрицы
.
Представим матрицу в следующем виде:
,
тогда
. (50)
В силу симметричности матрицы имеем:
Итак,
, где
- нижние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали,
и
- верхние треугольные матрицы с положительными диагональными элементами. LU-разложение определяется однозначно, поэтому:
,
а разложение (50) будет иметь вид:
.
Поскольку элементы матрицы положительные, представим ее в виде:
тогда
(50)
Разложение (50) называется разложением Холесского для симметричной положительно определенной матрицы.
Мы доказали
Теорему. Если - симметричная положительно определенная
-матрица, то существует и единственно ее треугольное разложение
, называемое разложением Холесского, где
- нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами.
Построение симметричного разложения Холесского производится аналогично тому, как строится LU-разложение матрицы.
Метод Холесского для СЛАУ с симметричной и положительно определенной матрицей
, основанный на разложении Холесского матрицы СЛАУ, выглядит следующим образом:
Шаг 1. Построить разложение Холесского матрицы СЛАУ: ;
Шаг 2. Решить СЛАУ , в результате решения получить вектор
;
Шаг 3. Решить СЛАУ , в результате решения получить искомый вектор
.
Пример. Пусть требуется решить СЛАУ
.
Матрица СЛАУ является симметричной, т.к.
, и положительно определенной, поскольку
. Таким образом, для решения данной СЛАУ можно воспользоваться методом Холесского.
Шаг 1. Построим для матрицы симметричное разложение:
.
Элемент матрицы
равен произведению первой строки матрицы
на первый столбец матрицы
, т.е.
, откуда
. Элемент
матрицы
равен произведению первой строки матрицы
на второй столбец матрицы
, т.е.
, откуда
. Элемент
матрицы
равен произведению второй строки матрицы
на второй столбец матрицы
, т.е.
, откуда
. Таким образом:
.
Шаг 2. Решаем СЛАУ методом подстановки сверху вниз:
;
.
Шаг 3. Решаем СЛАУ методом подстановки снизу вверх:
,
.
Вопросы
- Какая СЛАУ называется неоднородной?
- Теорема об LU-разложении матрицы.
- Для любой ли матрицы существует LU-разложение?
- Сколько различных LU-разложений существует для матрицы?
- Метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении матрицы системы.
- Для каких матриц существует симметричное разложение?
- Какая матрица называется полложительно определенной?
- Существует ли для положительно определенной матрицы LU-разложение?
- Метод Холесского.