Проходящей через три заданные точки
Пусть М1(x1, y1 ,z1), М2(x2, y2 ,z2), М3(x3, y3 ,z3) - три заданные точки и М(x, y ,z) – произвольная точка плоскости.
Тогда векторы ,
,
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов,
![]() | (3.4) |
Это – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Если плоскость пересекает оси координат в точках М1(а, 0 , 0), М2(0, b, 0), М3(0, 0 , c), то уравнение (3.4) примет вид
= 0 Þ
Þ
=
= .
Деля последнее уравнение на , получим уравнение
![]() | (3.5) |
В этом уравнении a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат ,
,
,соответственно, поэтому оно называется уравнением плоскости в отрезках.
Пример 3.2
Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(2, –1 , 3), М2(–1, 1 , 4), М3(–2, 5 , 2).
Решение
Подставив координаты точек в уравнение (3.4), получим
= 0 Þ
= 0,
Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим
–
+
= 0, Þ
Þ , Þ
+16–7+30= = 0, Þ
– 39 = 0.
Угол между двумя плоскостями
Рассмотрим задачу о вычислении угла между двумя плоскостями и
.
Угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами 1(A1, B1, C1) и
2(A2, B2, C2) этих плоскостей. Поэтому
![]() | (3.6) |
Если плоскости ортогональны, то ортогональны (взаимно перпендикулярны) и их нормальные векторы. В этом случае ,
, тогда из формулы (3.6) следует условие ортогональности плоскостей
![]() | (3.7) |
Если плоскости параллельны, то параллельны и их нормальные векторы. Координаты параллельных векторов пропорциональны:
![]() | (3.8) |
Уравнения (3.8) представляют собой условия параллельности плоскостей.
Общие уравнения прямой
Прямую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и
, т.е. как множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой
Прямая в пространстве определяется однозначно, если известна точка М0(х0, y0, z0), через которую проходит эта прямая, и вектор (m, n, p), параллельный этой прямой. Такой вектор называют направляющим вектором прямой.
|
![]() |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0, параллельно вектору (рис.3.2). Пусть
– произвольная точка, лежащая на прямой L, тогда вектор
= (x – x0, y – y0, z – z0) коллинеарен вектору
(m, n, p). Условием коллинеарности векторов является пропорциональность координат, поэтому получаем уравнения
![]() | (3.9) |
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Пример 3.3
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(1,–2, 3) параллельно вектору = (2, 0, –3).
Решение
Подставим координаты точки М0 и координаты вектора в уравнение (3.9), получим
.
Уравнения прямой,