Прямоугольная система координат
Аналитическое описание векторов и точек пространства осуществляется при помощи чисел.
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат x, y, z, т.е. три взаимно перпендикулярные прямые (оси), проходящие через точку О, называемую началом. Прямые направлены и называются осями координат x, y, z. Предполагается, что выбрана единица масштаба.
Направление осей координат зададим единичными векторами (ортами) ,
,
.
Возьмем произвольную точку М. Вектор называется радиус-вектором точки М:
. Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор
, который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора
на оси координат: очевидно, что
Такая картинка называется разложением вектора по трем координатным осям. Проекции радиус вектора
на координатные оси обозначим через x, y, z.
Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора на соответствующие координатные оси: M (x, y, z).
(*) или
.
Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
Равенство (*) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора по координатным осям (по базису
,
,
).
Действия над векторами в проекциях.
Пусть даны два радиус-вектора в разложении по координатным осям:
или
или
1. два радиус-вектора равны тогда и только тогда, когда равны их проекции:
2. Чтобы умножить радиус-вектор на число, надо каждую из его проекций умножить на это число:
или
.
3. Чтобы сложить (вычесть) два радиус-вектора, надо сложить (вычесть) их одноименные координаты.
или
.
Координаты вектора .
Пусть даны координаты точек и
. Найдем координаты вектора
. Рассмотрим радиус-векторы:
и
.
Очевидно, что . В координатной форме:
.
Чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты начала.
Обозначим: . Тогда
или
.
Т.к. произвольный вектор всегда можно сделать радиус-вектором, то свойства действий 1, 2, 3 остаются в силе.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Пусть и
- коллинеарные векторы.
(*).
Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны:
Пример 1. ,
.
Пример 2. . Коллинеарны ли векторы
и
?
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
или
(1)
Физический смысл. Работа при прямолинейном перемещении материальной точки на расстояние S=|MN| под действием постоянной силы F вычисляется по формуле:
. Если ввести вектор перемещения
, то можно записать эту формулу в виде:
.