Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru Это уравнение называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru и Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru возможны следующие частные случаи:

- Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru – прямая проходит через начало координат;

- Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru - прямая параллельна оси Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru ;

- Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru – прямая параллельна оси Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru ;

- Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru – прямая совпадает с осью Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru ;

- Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru – прямая совпадает с осью Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с координатами Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru перпендикулярен прямой, заданной уравнением Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru Он называется нормальным вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Для Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru и Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru уравнение прямой примет вид: Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Следовательно Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Искомое уравнение запишется в виде Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru привести к виду:

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru

и обозначить Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru т.е. Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Определение. Каждый ненулевой вектор Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , компоненты которого удовлетворяют условию Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru называется направляющим вектором прямой Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Пример.Найти уравнение прямой с направляющим вектором Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru и проходящей через точку Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru т.е. Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Тогда уравнение прямой имеет вид: Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , или Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

при Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru получаем Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , т.е. искомое уравнение имеет вид Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки

Рассмотрим прямую в пространстве, проходящую через заданную точку Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , с направляющим вектором Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru :

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Пусть Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru - произвольная точка этой прямой. Тогда выполняются равенства:

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru ,

Решая совместно эти уравнения, получим:

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru

-уравнение прямой, проходящей через две точки Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru и Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru на плоскости.

Замечание. Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru и Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Имеем

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

7. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru то, разделив на Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , получим: Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru или Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , где Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru .

Геометрический смысл коэффициентов: коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru . Найти уравнение этой прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru , Общее уравнение прямой на плоскости - student2.ru

Наши рекомендации