Общее уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Это уравнение называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных и возможны следующие частные случаи:
- – прямая проходит через начало координат;
- - прямая параллельна оси ;
- – прямая параллельна оси ;
- – прямая совпадает с осью ;
- – прямая совпадает с осью .
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
В декартовой прямоугольной системе координат вектор с координатами перпендикулярен прямой, заданной уравнением Он называется нормальным вектором прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Для и уравнение прямой примет вид: . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем . Следовательно . Искомое уравнение запишется в виде .
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой привести к виду:
,
и обозначить т.е. , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Определение. Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условию называется направляющим вектором прямой .
Пример.Найти уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку .
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
т.е. .
Тогда уравнение прямой имеет вид: , или .
при получаем , т.е. искомое уравнение имеет вид
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки
Рассмотрим прямую в пространстве, проходящую через заданную точку , с направляющим вектором :
.
Пусть - произвольная точка этой прямой. Тогда выполняются равенства:
,
Решая совместно эти уравнения, получим:
-уравнение прямой, проходящей через две точки и на плоскости.
Замечание. Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и . Имеем
.
7. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой то, разделив на , получим: или , где .
Геометрический смысл коэффициентов: коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой . Найти уравнение этой прямой в отрезках.
,