Нормальное уравнение плоскости в координатной форме

Приведем общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 (*) к нормальному виду. Рассмотрим векторы и . Тогда (*) можно записать в векторной форме:

(**).

Разделим обе части уравнения на n: или

(9').

Возможны два случая.

1. D<0. Чтобы (9') совпало с (9), уравнение (**) делим на .

2. D>0. В этом случая делим на ( ).

Т.о., чтобы уравнение (8) привести к нормальному виду, надо умножить на нормирующий множитель , знак которого выбирается противоположным знаку D: .

Пример. Привести к нормальному виду: x – 2y + 2z + 12 = 0.

Т.к. D=12>0, то м<0: ,

; , , , .

Отклонение и расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана точка М₀(x₀, y₀, z₀) и плоскость . Найдем расстояние от точки до данной плоскости.

1. Пусть точки О и М₀ лежат по разные стороны данной плоскости. Через точку М₀ проведем плоскость, параллельную данной.

(*)

Точка М₀ лежит на этой плоскости, поэтому

2. Если т. М₀ и т. О₀ находятся по одну сторону плоскости, то в (*) свободный член будет (p – d) и

. Поэтому общая формула:

, .

Отклонением д точки М₀ от плоскости называется расстояние d, если точка М₀ и начало координат лежат по разные стороны плоскости и (-d), если они лежат по одну сторону плоскости.

Пример. Найти расстояние от точки М₀(-2, -4, 3) до плоскости 2x – y + 2z + 3 = 0. Приводим уравнение к нормальному виду и подставляем координаты точки:

, , .

Точка М₀ и точка О лежат по одну сторону плоскости (д<0).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть даны две плоскости: . Нормальные векторы их: и . Тогда или . Если плоскости перпендикулярны, то и А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0, - условие перпендикулярности.

Если плоскости параллельны, то и , т.е. они коллинеарны.

Условие параллельности плоскостей в координатной форме:

.

Пример 1. Определить угол между плоскостями: 3x + 2y – 2z =0 и x + 2y + 6z – 12 = 0.

.

Пример 2. Определить при каких значениях l и m уравнения mx + 3y – 2z – 1 =0 и 2x – 5y – lz = 0 определяют параллельные плоскости.

, , .

Пример 3. Через точку М₀(1, -3, -2) провести плоскость, параллельную данной: 2x – 3y + 4z – 2 = 0.

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0, A(x – 1) + B(y + 3) + C(z + 2) = 0

, A = 2k, B = -3k, C = 4k (k=1)

, 2x – 3y + 4z – 3 = 0.

Задание линии в пространстве.

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух поверхностей. Пусть точка M(x, y, z), лежащая на линии L, принадлежит как поверхности Р1, так и поверхности Р2. Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям обеих поверхностей. Поэтому под уравнением линии L в пространстве понимают совокупность двух уравнений, каждое из которых является уравнением соответствующей поверхности:

Линии L принадлежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям в (*). Позже мы рассмотрим и другие способы задания линий в пространстве.

Пример.

- уравнение оси OZ.