Расчет надежности по графу работоспособности объекта

Исследование надежности восстанавливаемых объектов требует привлечения аппарата случайных процессов, описывающих процессы пе­рехода изделия из одного состояния в другое в случайные моменты вре­мени. Эти данные расчета отличаются от расчетов надежности невосста­навливаемых объектов, где достаточно теории случайных событий и вели­чин.

Ниже рассматриваются по этапам наиболее иллюстрированный ме­тод расчета надежности, основанный на составлении графа переходов из­делия в различные состояния работоспособности.

На первом этапе составляется граф работоспособности объекта. Для этого определяются все состояния работоспособности с учетом блоков системы и устанавливаются интенсивности переходов по данным состоя­ниям. Например, для системы с восстановлением из двух блоков (рис. 2.21), один из которых резервный, могут быть выделены следующие со­стояния:

1. Блок 1 и блок 2 исправны (система полностью исправна).

2. Блок 1 отказал, блок 2 исправен.

3. Блок 2 отказал, блок 1 исправен.

4. Отказ блока 1 и блока 2 (отказ системы).

Вероятность нахождения системы в i-м выделенном состоянии обо­значается Р_i. Вероятность перехода из i состояния в j – Р_ij. Например, Р₁₂ – вероятность отказа первого блока, Р₂₁ – вероятность восстановления пер­вого блока и т.д.

Граф работоспособности системы (см. рис. 2.21), построенный с уче­том введенных обозначений, представлен на рис. 2.22.

Рис. 2.21. Структура системы Рис. 2.22. Граф работоспособности системы

с параллельным соединением

Граф переходов по состояниям можно представить также матрицей переходов, используемой в дальнейшем для автоматизации расчетов:

.

Как видно из определений, граф переходов аналогичен марковской цепи [2].

Вероятности вследствие ординарности потока равны нулю.

Система уравнений, определяющая вероятности состояний, имеет следующий вид:

(2.101)

Уравнения системы, например первое, читается следующим образом: вероятность того, что система во время t + Dt будет находиться в первом состоянии, равна произведению вероятности того, что система в момент времени t находилась в первом состоянии, и вероятности отсутствия пере­хода во второе и третье состояние, плюс вероятности того, что система на­ходилась во втором или третьем состоянии в момент t, умноженные на ве­роятности перехода из этих состояний в первое за промежуток Dt.

Если Dt достаточно мало, то , где – интенсивность пе­рехода из i-го состояния в j-е состояние.

Система, записанная в функциях интенсивностей, имеет следую­щий вид:

(2.102)

Перенос везде влево и деление уравнений на Dt приводит к полу­чению в левой части:

(2.103)

При условии Dt Þ 0 получаем:

(2.104)

В окончательном виде система описывается следующими дифферен­циальными уравнениями:

(2.105)

При расчетах надежности систему уравнений составляют по графу работоспособности сразу в виде (2.105), минуя рассмотренные поясни­тельные этапы. Существует следующее правило составления системы. В левой части каждого уравнения записывается . В правой части урав­нения содержится столько членов, сколько стрелок связано (входит и выходит) с данным состоянием. Каждый член равен произведению интен­сивности потока l, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, откуда стрелка исходит. Если стрелка вхо­дит в описываемое состояние, то произведению присваивается знак «+», если исходит, то знак «–».

Приведенное правило позволяет после получения графа работоспо­собности изделия составить систему дифференциальных уравнений, опи­сывающих функционирование объекта.

На втором этапе в соответствии с приведенным правилом по графу работоспособности изделия составить систему дифференциальных уравне­ний, описывающих функционирование объекта.

На третьем этапе решаются уравнения системы и находятся искомые вероятности пребывания объекта в состояниях его работоспособности. Очевидно, что в рассматриваемом примере коэффициент готовности равен вероятности застать ответ в одном из трех работоспособных состояний:

(2.106)

Решение системы может быть выполнено известными способами. В дальнейшем используется способ, основанный на преобразованиях Лап­ласа, переводящих систему дифференциальных уравнений в систему ал­гебраических уравнений:

(2.107)

Из системы алгебраических уравнений находятся вероятности пре­бывания системы в состояниях . С помощью обратных преобразовате­лей Лапласа полученные вероятности приводят к иско­мому виду .

В случаях когда вероятности состояний являются постоянными, что характерно для установившегося режима работы, достигаемого в практике сравнительно быстро при существующих соотношениях и , сис­тема уравнений (2.105) становится системой алгебраических уравнений, так как в этом случае = 0.

(2.108)

Добавление последнего уравнения является обязательным и необхо­димым для закрытия системы, поскольку ни одно из предыдущих уравне­ний не учитывает начальных условий.

Решение системы (2.108) позволяет определить установившийся ко­эффициент готовности. Рассмотрим порядок расчета на более конкретном примере.

Пример 2.6. Пусть необходимо оп­ределить надежность изделия, не имею­щего резервирования, с заданными интен­сивностями переходов – па­раметров по­тока отказов w = const и интенсивностью восстановления m. Работоспособность сис­темы описывается графом (рис. 2.23): состояние 1 – состояние работоспособности, состояние 2 – состояние от­каза.

Описание графа по приведенному правилу дает следующую систему уравнений вида (2.107):

Учитывая, что в момент включения t = 0 система должна быть ис­правна ( ), получаем:

Отсюда

(2.109)

Обратное преобразование вероятности требует приведения ее к табличному виду. Для этого умножим и разделим на (w + m):

Отсюда, учитывая, что 1/Z соответствует 1(t), а соответст­вует , получаем:

(2.110)

Анализом полученного выражения устанавливаем, что при tÞ¥ не может быть ниже величины . Эта постоянная часть и явля­ется стационарным коэффициентом готовности изделия:

(2.111)

Постоянная времени экспоненты . Переходный про­цесс длится 3¸4 Т_пэ, после чего наступает установившийся режим.

Пример 2.7. Пусть w= 10^–2 1/ч, а m = 1 1/ч. Тогда

ч.

Следовательно, переходный процесс длится 3¸4 ч, а далее надеж­ность системы определяется стационарным коэффициентом готовности:

На рис. 2.24 приведен график зависимости коэффициента готовности от времени.

Рис. 2.24. График зависимости коэффициента готовности от времени

2.3.3. Определение среднего времени наработки на отказ системы   с восстановлением

Время наработки на отказ (подразд. 2.1.1) определяется как

.

В то же время преобразование Лапласа определяется следующей формулой [2]:

(2.112)

т.е. при Z = 0 Т = P(Z).

Рассмотрим систему из двух восстанавливаемых блоков, один из ко­торых основной, а другой – резервный. Перепишем систему уравнений (2.107), заменяя на , с учетом того, что состояние 4 – состояние от­каза. В результате , а также исчезает строка, соответствую­щая ,

(2.113)

Среднее время наработки на отказ всей системы , так как 1, 2, 3 – состояния работоспособности.

Пример 2.8. Пусть

Тогда

Решив систему, получаем:

Среднее время наработки на отказ

ч.

2.3.4. Расчет надежности систем с восстановлением при основном  (по­следовательном) и параллельном соединении элементов

Рассмотрим методику, приведенную в подразд. 2.3.2, для различных видов соединения элементов. Возьмем систему, состоящую из двух образ­цов оборудования, соединенных последовательно так, что отказ любого из них приводит к отказу всей системы (рис. 2.25). Для простоты предполо­жим, что каждый образец имеет одинаковую интенсивность отказов w и интен­сивность ремонтов m.

Предположим, что у нас имеется один ремонтник. Составим граф переходов системы (рис. 2.26).

Рис. 2.25. Структура системы Рис. 2.26. Граф работоспособности системы

с последовательным соединением

Обозначим:

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – состояние системы, когда оба образца неисправны, один ремон­тируется.

Из состояния 0 система может перейти в состояние 1 с интенсивно­стью отказов 2w. Из состояния 1 система может перейти в состояние 0 с интенсивностью восстановления m и в состояние 2 с интенсивностью отка­зов w. Из состояния 2 система может перейти в состояние 1 с интенсивно­стью восстановления m.

Запишем по графу переходов систему дифференциальных уравне­ний:

(2.114)

Будем искать решение только для установившегося значения. Тогда система дифференциальных уравнений перейдет в систему линейных уравнений:

(2.115)

Отсюда коэффициент готовности

(2.116)

Пример 2.9.Пусть w = 10² 1/ч, m = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В общем случае, если у нас имеется n образцов оборудования и один ремонтник, справедлива формула:

. (2.117)

В качестве другого крайнего случая рассмотрим систему, когда ко­личество ремонтников равно количеству образцов оборудования. Пусть на оба образца имеется два ремонтника. Составим граф перехода системы (рис. 2.27):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – оба образца неисправны и ремонтируются.

Рис. 2.27. Граф переходов системы

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решая систему, получим:

(2.118)

Пример 2.10. Пусть w= 10^–2 1/ч, m = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В общем случае, если у нас имеется n образцов оборудования и n ре­монтников,

(2.119)

т.е. коэффициент готовности системы находится как произведение коэф­фициентов готовности каждого образца. Это и следовало ожидать, так как для каждого образца имеется свой ремонтник и K_г каждого образца не за­висит от K_г остальных.

Рассмотрим систему из двух образцов оборудования, соединенных параллельно (рис. 2.28). Как уже указывалось, в этом случае отказ системы наступает только при отказе всех элементов системы.

Предположим, что у нас имеется один ремонтник, который сразу на­чинает ремонтировать отказавший элемент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.29):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – оба образца неисправны, один ремонтируется.

Рис. 2.28. Структура системы Рис. 2.29. Граф переходов системы

с параллельным соединением

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решив систему, получим:

Коэффициент готовности

(2.120)

Пример 2.11. Пусть w = 10^–2 1/ч, m = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

Имеется довольно многочисленный класс систем, в которых обслу­живание невозможно начать до наступления полного отказа системы. Это может произойти, если контролируется только выход из строя всей сис­темы, а не отдельных образцов оборудования. Допустим, у нас имеется 2 образца оборудования, соединенных параллельно. После того как откажет вся система, два ремонтника начинают ремонтировать каждый свой эле­мент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.30):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой неис­правен, но не ремонтируется;

2 – состояние системы, когда оба образца неисправны и ремонтиру­ются.

Рис. 2.30. Граф переходов системы

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решив систему, получим:

Коэффициент готовности:

(2.121)

Пример 2.12. Пусть w = 10^–2 1/ч, m = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В данном разделе мы рассмотрели несколько вариантов расчета ста­ционарного коэффициента готовности для систем с последовательным и параллельным соединением однотипных элементов. В случае параллель­ного соединения однотипных элементов коэффициент готовности при тех же параметрах потока отказов и восстановлений значительно выше, так как параллельное соединение одинаковых элементов означает наличие ре­зер­вирования.

Однако примеры были выбраны минимальной размерности. Для ре­альных систем количество блоков будет значительно большим, параметры потока отказов и восстановлений – различными. Все это приводит к тому, что размерность графа переходов системы, как правило, оказывается чрез­мерно большой для практических расчетов. В этих случаях граф можно сократить, отбросив состояния, вероятность пребывания в которых пре­небрежимо мало. Технология сокращения графа переходов системы про­иллюстрирована ниже на двух реальных примерах расчета надежности сложной телекоммуникационной системы.