Числовые показатели надежности

Функциональные показатели надежности Q(t), P(t), f(t), l(t) наиболее полно описывают поведение случайной величины Т – наработки до отказа элемента. Однако получение этих функциональных характеристик или хотя бы их статистических аналогов , , , вызывает значительные трудности, обусловленные длительными и дорогостоящими экспериментами с большим числом элементов, сложной математической обработкой экспериментальных данных и трудоемкой проверкой гипотез согласия. Поэтому при решении многих прикладных задач надежности широко используют числовые показатели надежности, оценки которых получают по экспериментальным данным более просто и более быстро, чем оценки функциональных показателей.

Средняя наработка до отказа

Этот показатель является математическим ожиданием времени безотказной работы элемента (наработки до отказа или наработки между отказами)

где t_Н – средняя наработка до отказа, М – символ операции математическое ожидание.

Более удобно вычислять t_Н по другой формуле:

А

При получении этой формулы интеграл А берется по частям, а выражение оказывается равным нулю, если неопределенность раскрыть с помощью правила Лопиталя. Среднюю наработку до отказа можно найти и по другим функциональным характеристикам Q(t) и l(t):

, .

Оценка средней наработки до отказа определяется по известным из эксперимента значениям наработки до отказа или между отказами t_j, j= :

Оценка несмещенная и состоятельная, при N®¥ случайная величина . Оценка и сама имеет физическую размерность [един. времени], значение часто указывается в техническом паспорте элемента и служит основной характеристикой его надежности.

Дисперсия наработки до отказа s²

Этот числовой показатель входит как параметр в так называемый нормальный закон распределения вероятностей (см. ниже), традиционно величина s² характеризует разброс значений наработок до отказа относительно средней наработки t_Н:

Оценка дисперсии определяется по экспериментальным наработкам до отказа (между отказами) t_j, j= :

,

где - среднее арифметическое потока отказов {t_j}. Эта оценка несмещенная и состоятельная, при N®¥ имеем .

При большом числе N, N>100 экспериментальных данных допустимо использовать и другую формулу

,

имеющую малую систематическую погрешность.

Гамма-процентный ресурс надежности

В ряде приложений принято измерять вероятность в процентах Р_пр(t), т.е. тогда 0£Р_пр(t)£100%. Зададим некоторый желаемый гарантийный уровень надежности g%, например, 80% или 90%. Тогда гамма-процентный ресурсt_g% - есть отрезок времени, на котором надежность элемента не ниже желаемой (или гарантийной) величины g%: Р_пр(t)³ g%.

Величина гамма-процентного ресурса t_g% есть корень конечного уравнения Р_пр(t_g%)= g%, который легко определяется графически (рис. 2.22)

Рис. 2.22 – К определению гамма-процентного ресурса t_g%

Удобнее, однако, использовать обычную вероятность P(t), изменяющуюся от 0 до 1, и задавать гарантийный (желаемый) уровень надежности g, 0£g£1. Тогда гамма-ресурсt_g есть отрезок времени, на котором P(t)³g (рис. 2.22 а). Значение t_g есть корень уравнения Р(t_g)= g. Понятно, что t_g= t_g% (далее всюду будет применяться просто гамма-ресурс t_g, имеющий физическую размерность времени).

Рис. 2.22 а – К определению гамма-ресурса t_g

Гамма-ресурс t_g зависит от двух факторов – надежности элемента, в частности функции P(t), и гарантийного уровня g.

В этих условиях естественно стремление улучшить показатель надежности t_g простым уменьшением уровня g, что, однако, приводит к уменьшению доли элементов, не отказавших до момента времени t_g. Так,

например, при g=0,9 получен гамма-ресурс t_g=1000 часов. При этом из 1000 включенных элементов к моменту 1000 часов не откажет 900 элементов. Если понизить гарантийный уровень g до 0,3, то гамма-ресурс t_g возрастет до 4000 час., но при этом из 1000 элементов только 300 доработают до рубежа 4000 час. (т.е. статистическая достоверность показателя t_g =4000 будет очень низкой).

Так как часто приводится в технических паспортах элементов, то необходимо указание в них и гарантийного уровня g. Для технических средств автоматизации, работающих в нормальных эксплуатационных условиях, считается приемлемым гарантийный уровень g=0,9…0,95.

Вероятность безотказной работы в заданные моменты времени t_h

Для каждого типа элементов указываются характерные моменты времени t₁, t₂,…,t_h,…,t_K, для которых по экспериментальным данным определяются оценки , h=1,2,…,k. (рис. 2.23):

Рис. 2.23 – К определению оценки вероятности исправной работы элемента до заданного времени t_h

Значения , h=1,2,…,k часто приводятся в технических паспортах элементов. При этом для более надежных элементов используют бόльшие значения t_h, для менее надежных элементов – мéньшие t_h. Так, например, для средств пневмоавтоматики применяют ряд t_h=400, 1000, 2000, 4000, 8000 час., для средств вычислительной техники t_h=100, 200, 400, 1000, 2000 час.