Поиск экстремумов функций

Для поиска экстремумов в Mathcad существует две функции:

- Minimize (y,x) - для отыскания значения х, соответствующего локальному минимуму функции у(х);

- Maximize (y,x) - для отыскания значения х, соответствующего локальному максимуму функции у(х).

Так как у(х) может иметь несколько локальных экстремумов, а функции Minimize (y,x) и Maximize (y,x) позволяет найти только одно значение, то дополнительно задается начальное приближение переменной х. В результате находится значение экстремума функции y(x), ближайшее к заданному начальному приближению переменной х.

При отыскании экстремумов посредством записи неравенства может быть задана некоторая область, в границах которой производится отыскание экстремума. В этом случае записи неравенства предшествует введение ключевого слова given. На листинге 2.18 представлен пример отыскания экстремумов функции в MathСad.

К сожалению, функция не всегда дает корректные результаты. Например, в примере на листинге 2.17 при поиске максимума в диапазоне -2<x<0 функция дает результат –0.452. В то же время в другом примере она дает совсем иной результат:

В этом можно убедиться и по графику функции на листинге 2.18.

Отсюда можно сделать вывод, что результаты вычислений функций Minimize и Maximize могут зависеть от предшествующих вычислений. И поэтому применять данные функции надо с осторожностью, сверяя результаты по графикам функции.

СКМ MathCad. Символьные вычисления в MathCad.

Результатом математических вычислений могут быть как числовые значения, так и символьные (аналитические) выражения, полученные посредством преобразования исходных математических выражений, описывающих условия задачи и алгоритм ее решения в символьном виде. Основными достоинствами символьных вычислений является отсутствие погрешности вычислений и универсальность использования в различных прикладных задачах.

Выполнение символьных вычислений:

- при помощи меню “Символика”, обеспечивающего возможность выполнения самых разнообразных символьных вычислений (решение и преобразование символьных выражений, интегрирование, дифференцирование и т.д.);

- при помощи специального оператора символьного ввода, включающего знак символьного равенства [à] , иногда с добавлением операторов панели инструментов “Символика” (рис.2.2) ;

- с использованием стандартных функций, в сочетании с символьным знаком равенства.

Символьная алгебра

Операции символьной алгебры можно рассмотреть в сочетании с командами рабочей панели “Символика”, реализующими данную операцию. Перечень некоторых команд и краткое их назначение приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8
Обозначение	Описание	Пример
Simplify	Упрощение алгебраических выражений
Collect	Приведение подобных членов
Factor	Разложение на множители
Expand	Разложение выражений в более простые суммы
Parfrac	Разложение на элементарные дроби
Substitute	Подстановка переменной
Coeffs	Формирование вектора коэффициентов полинома для последующего определения корней полинома.

Команды меню Символика:

1. Вычислить (Evaluate);

2. Упростить (Simplify). Перед вычислением программа пытается упростить выражение, это позволяет ускорить вычисления. При выполнении данной операции раскрываются скобки и приводятся подобные члены. Например:

3. Развернуть (Expand). Программа “растягивает” выражение разлагая его на простые множители: (a²-b²) expand → (a-b)*(a+b);

4. Коэффициент (Factor). Эта команда раскладывает выражение на множители, полиномы разлагаются на более простые сомножители:

(x⁴-16) factor → (x-2)*(х+2)*(х²+4)

5. Собрать (Collect). Данная команда приводит подобные члены выражения.

6. Полиноминальные коэффициенты (Polinomial Coefficients) – вычисляет коэффициенты полиномов.

При выполнении операций 2 и 4 необходимо выделить все выражение. При выполнении операций 3, 5 и 6 необходимо выделить переменную, относительно которой будут выполняться преобразования.