Дифференцирующие устройства

Дифференцирующие устройства выполняют операцию дифференцирования. Принципиальная возможность выполнения этих операций с помощью конденсатора вытекает из формулы:

,

т.е. ток через конденсатор i_c(t) зависит от величины емкости С и производной от напряжения на ней u_с(t). Следовательно, для пассивной дифференцирующей цепи (рис. 2.6.1.) можно записать в соответствии с законами Кирхгофа:

i₁(t)=i₂(t).

Рис. 2.6.1. Пассивная дифференцирующая цепь

Предположим, что R в цепи значительно меньше сопротивления нагрузки, тогда можно записать:

.

Преобразовав это уравнение получим:

. (2.21.)

Полученное выражение показывает, что выходной сигнал содержит собственно производную и ошибку, которая вычитается из нее и связана с влиянием выходного сигнала на входные цепи:

.

U

U_вх

U_{вых 0}

DU

U_вых(t)

t

Рис. 2.6.2. Ошибка дифференцирования

Анализ погрешности показывает, что она соизмерима с основным сигналом.

Для условий, когда U_вх =kU(t), U(0)=0 решение дифференциального уравнения при имеет вид:

В соответствии с проведенным выше анализом видно, что выражение содержит собственно производную, а выражение – это ошибка.

Если ввести относительную погрешность dU, то получим :

dU(t)=

Эта формула позволяет определить время, начиная с которого относительная погрешность не превышает заданной величины:

t=RClndU(t).

Таким образом, погрешность уменьшается с уменьшением величины входного сигнала, но это понижает и уровень выходного сигнала.

Из рисунка (2.6.2.) видно, что при подаче на вход линейно нарастающего сигнала U_вх идеальная производная должна была быть равна постоянной величине U_вых, однако , формируется ошибка DU и сигнал U_вых (t) имеет вид экспоненты.

Активное дифференцирующее устройство, построено на основе операционного усилителя. Схема с ОУ и RC-цепью имеет вид:

Рис. 2.6.3. Активное дифференцирующее устройство

Для такой схемы в соответствии с законами Кирхгофа можно записать:

,

подставив , получим:

(2.22)

или

.

Преобразовав эту формулу, получим:

и далее

.

При К_у ® 0 первый член уравнения достаточно точно описывает операцию дифференцирования, а второй член описывает погрешность равную

,

которая в (К_у+1) раз меньше, чем погрешность для пассивной дифференцирующей цепи.

Решение уравнения (2.22) дает

или при больших K_y®¥

,

тогда абсолютная ошибка: и далее

,

а относительная погрешность:

,

где – результат идеального дифференцирования.

Отсюда при заданной dU можно определить время t₁ в течении которого, достигается допустимая погрешность dU_доп : t₁ = ln dU доп .

В практических целях информационно – измерительной технике часто диффренцирующие устройства используются для формирования сигналов управления из различных импульсов.

C₁ R

Тг

Рис. 2.6.4. Вариант применения дифференцирующего устройства

При использовании дифференцирующих устройств для решения уравнений возникает опасность формирования ложных сигналов из импульсных помех, поэтому их применение в этих схемах ограничено.