Дискретно-детерминированные модели

Дискретно-детерминированные модели используются для описания объектов, среди свойств которых доминирующее значение имеют два:

отсутствие случайностей (их либо нет в реальности, либо ими пренебрегают из-за их несущественности с позиции цели исследования);

явления в объектах моделирования рассматривают как изменяющиеся во времени процессы, которые представительно описываются временными рядами.

Шаг изменения времени принимается постоянным, равным единице, при этом сколько реального времени работы объекта подразумевается в одном шаге изменения времени в модели (секунда, 2 дня, месяц и т.п.), решает разработчик модели. Примерами подобных объектов моделирования могут служить производственно-складские системы, финансово-хозяйственные механизмы функционирования экономических систем и т.п.

Для построения дискретно-детерминированных моделей в качестве теоретических схем формализации обычно используют два математических аппарата: конечно-разностные уравнения и теорию конечных автоматов.

Пример построения и использования дискретно-детерминированных моделей.Этот пример показывает, как используется аппарат конечно-разностных уравнений для построения дискретно-детерминированной модели. Причем эта модель строится в виде математических уравнений, для которых возможно нахождение аналитического решения.

Пусть имеется следующая ситуация: есть некоторый товар, цена Pt на который формируется на основе спроса на него и предложения товара на рынке. Допустим, что спрос D, на товар обратно пропорционален цене:

Dt= K1-k1P1

где K1— коэффициент; k1 — коэффициент пропорциональности. Предложение товара St (его производство, так как полагаем здесь, что все что произведено, сразу предлагается к продаже) также ориентировано на цену с запаздыванием на один временной шаг (т. е. ориентируется на «вчерашнюю» цену):

St = K2 + k2Pt-1

где K2 — коэффициент; k2 — коэффициент пропорциональности. Условие локального равновесия на рынке товара определяется равенством спроса и предложения:

Dt=St, т.е.

K1-k1P1= K2 + k2Pt-1

или

k1P1+ k2Pt-1= K1 - K2 (2)

Решим уравнение (2), для чего сначала найдем решение однородного уравнения:

k1Pt + k2Pt-1= 0;(3)

Pt t

k1µt+ k2µt-1= 0;

µt-1(k1µ+ k2)=0, µt-1≠0

µ = - k2 / k1

Общее решение однородного уравнения (3):P t = R(- k2 / k1) t

где R — произвольная константа.

Найдем частное решение уравнения (2). Правая его часть — константа

К12, поэтому и частное решение мы будем искать в виде константы ŷ.

k1 ŷ+ k2 ŷ= K1 - K2

K1 - K2

ŷ= ---------------

k1+ k2

Общее решение уравнения (2):

Pt=R(-k2 / k1) t + K1 - K2

--------------- .

k1+ k2

Положив Pt =P0, при t=0, найдем значение для R:

P0 = R(- k2 / k1) 0 + K1 - K2

_______________________ _________

k1+ k2

Окончательная формула для общего решения уравнения (2):

K1 - K2

_____________________ Pt =__ P0 - _________ (- k2 / k1) t K1 - K2 (4)

k1+ k2 k1+ k2

Это решение показывает динамику цены. Например, для случая К1= 200, k1= 0,4, К2 = 100, k2 = 0,3 график ее изменения показан на рис. 3.3. Частное решение Pt = 143 соответствует равновесному состоянию.

Дискретно-детерминированные модели - student2.ru

Рис. 3.3. Динамика цены

Свойства решения уравнения (4) определяются соотношением между коэффициентами k2и k1. При k2 < k1колебания цены вокруг равновесного значения имеют затухающую амплитуду (рис. 3.4) и значение цены сходится к значению равновесной цены; при k2 = k1колебания цены происходят с постоянной амплитудой (рис. 3.5), а при k2 > k1 — с увеличивающейся, т. е. мы имеем дело с расходящимися колебаниями (рис. 3.6).

Усложним условия только что рассмотренной ситуации. Пусть локальное равновесие рынка пытаются поддержать не только за счет производства, но и за счет запасов продукции Zt.

Дискретно-детерминированные модели - student2.ru

Рис. 3.5. Колебания цены с постоянной амплитудой колебания цены

Рис.3.6.Расходящиеся колебания цены

Уравнения, описывающие ситуацию:

Dt=K1-k1Pt;

St=K2+DP t-1

ΔZ t =Z t –Z t-1= S t-D t ;

Pt =Pt-1 – λΔZt-1,λ∩(0,1)(5)

Здесь цена ориентируется на уровень запасов товара в системе. Если этот уровень растет, то цена уменьшается, и наоборот. Коэффициент Я показывает долю величины изменения запасов, на которую будет скорректирована цена. Приведенные уравнения позволяют исключить все переменные и построить обобщенное уравнение для описания динамики цены:

Pt =Pt-1 – λΔZt-1 =Pt-1- λ(S t-1-D t-1)

Pt =Pt-1 – λ(К2+DP t-2 - K1 + k1Pt-1)

Pt–(1- λ k1) Pt-1+ λDP t-2= λ(K1 - K2)

(6)

Полученное уравнение (6) можно решить так, как это показано выше. Мы не будем этого делать. Обсудим характер данного уравнения. По своей сути — это модель описанной выше ситуации. Но и система уравнений (5) также есть модель. Разница между ними состоит в степени детализации описания ситуации. Модель (6) относится к типу «вход—выход», т.е. мы стремились все соотношения в модели свести к уравнению динамики вида (4), когда слева от знака равенства находятся значения переменной или переменных, описывающих выходные характеристики системы, а справа — входные.

Наши рекомендации