Введение в теорию статистических решений
(теория принятия решений в неопределенных ситуациях)
Большая часть жизненных ситуаций и обстоятельств, в которых приходится действовать человеку, являются неоднозначными - т.е. когда возможно различное толкование обстоятельств и, соответственно, выполнение тех или иных действий. Причины такой «неоднозначности» могут корениться как вовне – в неопределенности объективных жизненных обстоятельств и условий деятельности (либо в неполноте информации о реальных событиях, которую получает человек), так и внутри самого человека – в недостатке возможностей, знаний или желания разобраться в ситуации.
Действия человека в этих условиях будут существенно отличаться от действий в детерминистических обстоятельствах (т.е. допускающих однозначное толкование), в которых существует или может быть найден четкий алгоритм действий. Поведение и деятельность в вероятностной (стохастической, неопределенной) внешней среде требует от субъекта включения в работу новых элементов и процессов, и в первую очередь усложнение коснется процессов принятия решений. В самом простом виде линейная схема процессов построения поведенческого акта в интересующей нас части будет выглядеть следующим образом (см. рис.5).
![]() |
Рис.5. Схема построения поведенческого акта при деятельности в неопределенных условиях (пояснения см. в тексте)
В приведенной на рис.5 схеме использованы следующие обозначения:
h1, h2,…, hm – все возможные состояния реальной внешней среды, одно из которых является актуальным (т.е. существующим) в текущий момент времени;
H1, H2,…, Hm– гипотезы о состояниях внешней среды.
e1, e2,…, en – апостериорная информация о текущем состоянии внешней среды – то есть те сведения, которые субъект получает путем непосредственного наблюдения за средой, от других людей, из средств массовой информации и т.д.;
Приведем четыре примера таких ситуаций, с которыми может столкнуться субъект, но, естественно, в их упрощенном варианте:
Ситуация | «Покупатель» | «Террорист» | «Охотник» | «Измерение» | |
Описание ситуации | Покупатель идет по рынку и вдруг видит очень нужный товар, который он долго искал … | С борта самолета получают сообщение о террористе, под угрозой взрыва самолета требующего деньги… | Охотник отправился охотиться на зайцев. Проходя через поляну, услышал в кустах шорох… | При измерении чувствительности в интервале наблюдения может быть предъявлен (или нет) стимул. | |
Проблема | Купить или не купить? | Платить или не платить? | Стрелять или не стрелять? | Был или нет предъявлен стимул. | |
Цель | Приобрести нужный товар за приемлемую цену | Сохранить жизни пассажиров, не по-нести убытков. | Добыть больше зайцев при минимуме расхода патронов. | Максимально правильно обнаруживать стимул. | |
Состояние среды | h1 | Товар качественный. | У террориста есть бомба. | В кустах есть заяц. | Стимул был (S). |
h2 | Товар – подделка. | Бомбы нет. | В кустах нет зайца. | Стимула не было (n). | |
Гипотезы о состоянии среды | H1 | Товар качественный. | Есть бомба. | Есть заяц. | Стимул был. (Ответ «Да») |
H2 | Товар некачественный. | Нет бомбы. | Нет зайца. | Стимула не было.(Ответ «Нет») | |
Апостериорная информация | e1 | Товар выглядит качественно. | Личность террориста установлена – мужчина, одинок, безработный, 34 года. | Слышен шорох. | Сенсорное событие (s). |
e2 | Цена доступная. | На учете у психиатра не состоит. | Шороха нет. | ||
e3 | Другие покупатели прицениваются, но никто не покупает. | При прохождении контроля при посадке ничего не было обнаружено. | |||
e4 | Продавец слишком настойчиво рекомендует купить. | Проходил спецподготовку во время службы в армии. |
Главная задача, которую решает человек при принятии решения в каждой из этих ситуаций, – выбор правильной гипотезы (представления) о состоянии среды и, соответственно, выполнение в последующем действий, которые приведут к достижению желаемой цели. При этом имеется в виду, что принимающий решение не имеет полной и исчерпывающей информации о состоянии среды. Если такая информация есть, то принятие решения редуцируется до простой детерминированной процедуры. Например, в ситуации «Покупатель» такой информацией может быть обнаружение у товара явного дефекта, в ситуации «Охотник» – охотник увидел зайца своими глазами, - то есть поступившей информации достаточно для достоверного подтверждения истинности одной из выдвинутых гипотез H2 или H1.
В случае же, когда ситуация неопределенна (неоднозначна), принятие решения начинает осуществляться по законам, которые описываются теорией статистических решений.
Основная задача, которую решает теория статистических решений, – проверка истинности (правдоподобности) гипотез Hi о состоянии среды на основании поступившей информации ej о реальном состоянии среды hi. (Полагаем 0 £ i £ m; 0 £ j £ n).
При этом главным является вопрос о правилах (процедурах), на основании которых можно принять или отклонить гипотезу – т.е. принять решение.
3.1.1. Правило принятия решения
В теории статистических решений существует очень простое и вместе с тем достаточно общее решающее правило. Однако, прежде чем сформулировать его, необходимо определить ряд новых понятий, которые позволят дать вероятностное описание ситуации.
Еще до попадания в ситуацию, в которой будет необходимо принимать решение, у человека имеются определенные знания, представления и предположения о ней. Можно сказать, что у субъекта формируется некоторая предвосхищающая модель ситуации (среды), в которой ему предстоит действовать. Совокупность этих знаний и представлений независимо от их источника, будем называть априорной информацией (т.е. полученной априори, «до опыта»). Если речь идет о конкретных событиях, которые должны произойти в будущем, и относительно которых у субъекта есть некоторая априорная информация, то можно говорить об априорной вероятности этих событий. Априорная вероятность – это сформированная на основе имеющейся априорной информации оценка возможности наступления события в будущей ситуации, в которой предстоит принимать решение. Обозначаются априорные вероятности q.
Как правило, предполагается, что субъект формирует оценку априорных вероятностей qi=p(hi) возможных состояний среды hi, так как в любой ситуации человек стремится спрогнозировать дальнейшее развитие событий. Поскольку множество этих состояний образует полную систему событий, то сумма их априорных вероятностей должна быть равна единице:
. (4)
Априорные вероятности человек оценивает до получения информации о состоянии среды ej, основываясь на своих знаниях, представлениях, ранее полученной информации и т.д.
Так, в примере «Охотник» априорные вероятности наличия зайца в лесу q1=p(h1), и его отсутствия там q2=p(h2) могут определяться охотником на основании рассказов местных жителей из соседней деревни или его воспоминаний о прошлой охоте в этом лесу, и т.д. Другими словами, q1 и q2 отражают оценку охотником возможности существования состояния среды h1 (заяц есть) состояния h2 (зайца нет) еще до того, как он отправился в лес на охоту.
После получения информации ej самое важное изменение знаний о среде будет состоять в том, что уже существующие априорные вероятности p(hi) перейдут в апостериорные вероятности p(hi /ej).
Апостериорная вероятность p(hi /ej) - вероятность того, что действительно может иметь место состояние среды hi с учетом полученной информации ej. То есть это представления субъекта о возможном состоянии среды, опирающееся на его предварительные (априорные) знания о ней, но уже скорректированные, измененные с учетом поступившей (апостериорной) информации.
В примере «Охотник» p(h1/e1) отражает субъективную вероятность наличия в кустах зайца после того, как охотник услышал оттуда шорох, p(h2/e1) -. субъективную вероятность отсутствия зайца при наличии шороха, p(h2/e2) – субъективную вероятность отсутствия зайца при отсутствии шороха, p(h1/e2) – субъективную вероятность наличия зайца при отсутствии шороха.
Эти величины (апостериорные вероятности) являются основной информацией, на которой базируется принятие решения.
Правило принятия решения в этом случае состоит в том, чтобы сравнить между собой апостериорные вероятности различных гипотез и принять ту из них, для которой апостериорная вероятность наибольшая.
Для самого простого случая, когда возможны только два состояния среды (h1 и h2) и, соответственно, высказывается простая двухальтернативная гипотеза (H1 и H2), правило принятия решения выглядит следующим образом:
если p(h1 /ej) > p(h2 /ej), то принимается гипотеза H1,
если p(h1 /ej) < p(h2 /ej), то принимается гипотеза H2.
Таким образом, смысл правила принятия решения состоит в том, что принимается наиболее вероятная гипотеза с учетом полученной информации ej.
Вербальная формулировка решающего правила может быть следующей:
- если с учетом поступившей апостериорной информации ej вероятность существования состояния среды h1 будет больше вероятности существования состояния h2, то принимается гипотеза H1;
- если с учетом поступившей апостериорной информации ej вероятность существования состояния среды h1 будет меньше вероятности существования состояния h2, то принимается гипотеза H2.
На основании теоремы Байеса имеем:
P(h1 /ej) = , (5)
и решающее правило можно теперь записать так:
Если <
, то принимаем H1;(6a)
Если
, то принимаем H2.(6b)
Здесь: p(ej /h2) – вероятность того, что появление апостериорной информации ej вызвано состоянием среды h2 ;
p(ej /h1) – вероятность того, что появление апостериорной информации ej вызвано состоянием среды h1.
Используем следующие обозначения:
λ(ej) = ; (7)
λ0 = . (8)
Вновь введенные величины получили названия:
λ(ej) – отношение правдоподобия,
λ0 – порог принятия решения.
Теперь решающее правило может быть записано так:
если λ(ej) < λ0, то принимаем гипотезу H1; (9a)
если λ(ej) λ0, то принимаем гипотезу H2 (9b)