Пример: двухзвенный манипулятор
Применение уравнений Лагранжа-Эйлера в форме (6-35) – (6-42) для описания динамики движения манипулятора рассмотрим на примере двухзвенного манипулятора с вращательными сочленениями (рис. 6.3).
Все оси сочленений рассматриваемого манипулятора параллельны оси z, перпендикулярной плоскости рисунка. Физические характеристики, такие, как положение центра масс, масса каждого звена и выбранные системы координат, указаны ниже. Требуется получить уравнения движения рассматриваемого двухзвенного манипулятора, основываясь на равенствах (6-35) – (6-42).
Рисунок 6.3. Двухзвенный манипулятор
Примем:
-присоединенными переменными являются 
;
-первое и второе звенья имеют массы 
и 
-параметры звеньев имеют значения 
; 
; 
.
Тогда для матрицы 
имеем:
, 
,
,
где 
В соответствии с определением матрицы 
для вращательного сочленения имеем:
.
Используя выражение (6-19), получаем:
.
Аналогично для 
и 
получаем:
Полагая, что центробежные моменты инерции равны нулю, получим формулу для матрицы псевдоинерции 
:
; 
.
Для определения слагаемых, описывающих центробежное и кориолисово ускорение, воспользуемся равенством (6-40). Для i=1 оно дает:
.
С помощью (6-41) можно получить значения коэффициентов 
. Подставляя их в предыдущее выражение, имеем:
.
Аналогично для i=2:
.
Таким образом:
.
Слагаемые, определяющие влияние гравитационных сил 
:
Таким образом, вектор, определяющий влияние силы тяжести:
.
Окончательно имеем уравнения описывающие динамику движения двухзвенного манипулятора:
,
ЛЕКЦИЯ 11
Уравнения Ньютона-Эйлера
В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.
Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.
Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.