Пример выполнения работы в среде Excel
Задание
Изучить теоретический материал, изложенный в лекции «Вычисление определенных интегралов» и в данных методических указаниях.
Задача. Средствами Excel и Mathcad вычислить интеграл вида ,
где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на [a,b];
a,b – нижний и верхний пределы интегрирования.
Требуется в среде Excel вычислить значения интеграла Sл,Sп,Sс соответственно методами левых, правых и средних прямоугольников, а также Sт1,Sт2 методом трапеций для двух разных разбиений n1=10, n2=20, по которым определить уточнение Sр по Ричардсону. Для визуальной оценки точности вычислений требуется также вычислить точное значение интеграла J, для чего в качестве подынтегральных функций f(x) в приводимой ниже таблице вариантов выбраны такие функции, для которых известны первообразные функции F(x) в аналитическом виде (они также даны в таблице вариантов). Значение J вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Решить указанную задачу в среде Mathcad.
Для защиты лабораторной работы представить на компьютере Excel-файл и Mathcad-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:
1) значения интеграла Sл,Sп,Sс, вычисленные методами левых, правых, средних прямоугольников для n=20;
2) значения интеграла Sт1,Sт2, вычисленные методом трапеций для n1=10 и n2=20;
3) уточнение по Ричардсону Sр;
4) точное значение определенного интеграла J, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница;
5) ошибки Rл, Rп, Rс, Rт1, Rт2, Rр значений Sл,Sп,Sс,Sт1,Sт2,Sр по сравнению с J ;
6) значение интеграла JM, вычисленное в Mathcad.
Краткие теоретические сведения
1) Формула Ньютона-Лейбница аналитического вычисления определенного интеграла: , где .
2) Точное (аналитическое) значение определенного интеграла J и значение S, полученное каким-либо численным методом интегрирования, связаны соотношением
,
где R – ошибка данного численного метода.
3) Методы прямоугольников:
| Метод левых прямоугольников | Метод правых прямоугольников | Метод средних прямоугольников | |
| Геометрическая интерпретация | |||
| Вычислительная формула | |||
| Главный член погрешности метода |
где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования,
n - количество разбиений промежутка интегрирования,
- шаг разбиения.
4) Метод трапеций:
| Геометрическая интерпретация: | |
| Вычислительная формула | |
| Главный член погрешности |
5) Уточнение по Ричардсону:
,
где , - значения интеграла, вычисленные методом трапеций для шага разбиения промежутка интегрирования h1 и h2 соответственно.
Пример выполнения работы в среде Excel