Расчет и исследование НЧ-фильтров.
ФНЧ1
1) коэффициенты фильтра рассчитываются по формулам :
Таким образом, коэффициент ak (k=0,...,N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза:
; .
2) Рассчитаем коэффициенты фильтра в соответствии с вариантом задания:
, ;
, .
3) уравнение фильтра:
4) аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :
С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.
Рисунок 1 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab
Рисунок 2 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра
Рисунок 3 – импульсная характеристика фильтра
Рисунок 4 – структурная схема фильтра
Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.
Таблица 1 - Коэффициенты фильтра
Коэффициенты фильтра | Расчётные | Вычисленные |
а0 | 0.166 | 0.166 |
а1 | 0.159 | 0.159 |
а2 | 0.137 | 0.137 |
а3 | 0.106 | 0.106 |
а4 | 0.069 | 0.068 |
а5 | 0.032 | 0.0318 |
а6 | 0.00019 |
ФНЧ2:
1) коэффициенты фильтра :
а0=0,24, а1=0,224, а2=0,158, а3=0,075, а4=0, а5=-0,045, а6=-0,052
2) уравнение фильтра:
Аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :
С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.
Рисунок 5 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab
Рисунок 6 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра
Рисунок 7 – импульсная характеристика фильтра
Рисунок 8 – структурная схема фильтра
Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.
Таблица 2 - Коэффициенты фильтра
Коэффициенты фильтра | Расчётные | Вычисленные в Matlab |
а0 | 0,24 | 0,24 |
а1 | 0,224 | 0,224 |
а2 | 0,158 | 0,158 |
а3 | 0,075 | 0,075 |
а4 | ||
а5 | -0,043 | -0,043 |
а6 | -0,052 | -0,052 |
По результатам расчета ФНЧ1 и ФНЧ2 рассчитать (без компьютера) коэффициенты полосового фильтра с частотами среза f c1 и fc2 (f c1 < fc2).
За основу берется ФНЧ с частотой среза wв, которая соответствует верхней частоте среза искомого ПФ. Из спектра этого ФНЧ вычитается спектр другого ФНЧ с меньшей (нижней) частотой среза wн. В результате останется спектр полосового фильтра с зоной прозрачности (пропускания) между wн и wв. Искомые коэффициенты ПФ рассчитываются по формуле:
ак,ПФ = ак,ФНЧ(в) - ак,ФНЧ(н)
С помощью программы Matlab произвести расчет коэффициентов этого же полосового цифрового фильтра и построить графики его импульсной и частотной характеристик. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты полосового фильтра
Рисунок 9 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab
Рисунок 10 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра
Рисунок 11 – импульсная характеристика фильтра
Рисунок 12 – структурная схема фильтра
Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.
Таблица 3 - Коэффициенты фильтра
Коэффициенты фильтра | расчётные | Вычисленные в Matlab |
а0 | 0,82 | 0,82 |
а1 | 0,066 | 0,066 |
а2 | 0,02 | 0,02 |
а3 | -0,03 | -0,03 |
а4 | -0,068 | -0,068 |
а5 | -0,075 | -0,075 |
а6 | -0,053 | -0,053 |
Синтезировать входной сигнал в виде аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом. Частота гармонического сигнала , амплитуда A=1, длительность . Шум – с нормальным распределением, нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением. Произвести фильтрацию смеси сигнала с шумом, рассчитанным полосовым фильтром. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.
Рисунок 13 – Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом
Рисунок 14 – отфильтрованный сигнал
Сгенерировать и профильтровать (рассчитанным полосовым фильтром) сигнал в виде последовательности знакоположительных прямоугольных импульсов амплитудой A=1, длительностью , следующих с частотой . Относительная длительность импульсов . Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.
Рисунок 15 – Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом
Рисунок 16 – отфильтрованный сигнал
Ответы на контрольные вопросы
1. Нерекурсивный цифровой фильтра - это фильтр, который не имеет обратной связи.
2. Отличительной особенностью НЦФ является зависимость выходного сигнала y(n) только от входных сигналов в настоящий момент времени x(n) и предыдущие моменты x(n-k).
3. Его характеризует число задержек.
4. Тем, что выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известными “будущие” входные отсчеты. Это означает необходимость задержки выходного сигнала фильтра относительно входного.
5. Последовательность отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра ak , конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).
6. Относительная частота среза - это отношение верхней частоты (частоты среза) спектра аналогового сигнала к частота дискретизации сигнала, выраженное в радианах.
7.Всечастотный фильтр (ВФ) – это фильтр, который пропускает без ослабления все частоты.
Вывод
В результате проведения работы были синтезированы и рассчитаны рекурсивные и нерекурсивные фильтры низких частот. В результате работы, рассчитанные вручную коэффициенты совпадают с полученными с помощью компьютера. Дискретное преобразование Фурье, используемое во всех непараметрических методах спектрального оценивания, подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. При этом на стыках фрагментов могут возникать скачки, приводящие к появлению боковых лепестков значительного уровня в спектральной области. Для ослабления этого эффекта сигнал перед выполнением ДПФ умножают на спадающую от центра к краям весовую функцию (окно). В результате величина скачков на стыках сегментов уменьшается, меньше становится и уровень нежелательных боковых лепестков спектра — платой за это является некоторое расширение спектральных пиков. Помимо спектрального анализа весовые функции применяются при синтезе нерекурсивных фильтров путем обратного преобразования Фурье желаемой частотной характеристики. В этом случае они позволяют увеличить подавление сигнала в полосе задерживания фильтра за счет некоторого расширения полосы пропускания.