Аддитивная позиционная система счисления.

Информатика

III. Системы счисления

Позиционные системы счисления

К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Любая позиционная система характеризуется ее основанием. Основание (базис) позиционной системы счисления q – это количество знаков (цифр или символов), используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Например, для десятичной системы q=10, поскольку для изображения числа в этой системе используются 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

для двоичной системы q=2 (0, 1);

для восьмеричной системы q=8 (0, 1, …, 7);

для шестнадцатеричной системы q=16 (0, 1, …, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, т. к. за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Запись числа в некоторой системе счисления является кодом числа. Соответственно системам счисления существуют десятичный, двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды.

Элементы алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, называются цифрами. Позиции для размещения числа называются разрядами числа в данной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа, которая совпадает с его длиной. Таким образом, длина числа – это количество позиций в записи числа.

Разрядная сетка – это совокупность двоичных разрядов.

Длина разрядной сетки – это число разрядов (позиций), выделяемых в компьютере для представления числа.

Вес разряда числа в некоторой системе счисления – это величина

Pi = qi

i – номер разряда разрядной сетки, отсчитываемый справа налево.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления– это интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, значение которых зависит от длины разрядной сетки, выделенной в компьютере для представления чисел.

Существую мультипликативные и аддитивные позиционные системы счисления.

Для мультипликативных систем счисления справедливо следующее равенство:

= anqn х an-1qn-1 х ... х a1q1 х a0q0 х a-1q-1 х ... х a-mq-m

 
  Аддитивная позиционная система счисления. - student2.ru

Aq – число, представленное в системе счисления с основанием q

ai – цифры системы счисления.

n – количество разрядов для целой части числа

m – количество разрядов для дробной части числа

Аддитивная позиционная система счисления.

Большее распространение получили аддитивные системы счисления.

Аддитивная позиционная системадолжна удовлетворять следующему равенству:

Аддитивная позиционная система счисления. - student2.ru = anqn + an-1qn-1 + ... + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + ... + a-mq-m

Aq – число, представленное в системе счисления с основанием q

ai – цифры системы счисления

n – количество разрядов для целой части числа

m – количество разрядов для дробной части числа

Например, 1961,3210 = 1х103 + 9х102 + 6х101 + 1х100 + 3х10-1 + 2х10-2

124,5378 = 1х82 + 2х81 + 4х80 + 5х8-1 + 3х8-2 + 7х8-3

1001,11012 = 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 + 1х2-1 + 1х2-2 + 0х2-3 + 1х2-4

Согласно равенству, определяющему аддитивность системы, каждый разряд числа в двоичной системе счисления слева от запятой представляется двойкой в соответствующей положительной степени, а справа от запятой – двойкой в отрицательной степени:

24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
1, 0,5 0,25 0,125 0,0625

Номер разряда разрядной сетки, отведенной для изображения целого числа в двоичной системе счисления, совпадает с соответствующим показателем степени двойки.

Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.

Например, можно представить числа в разных системах счисления таким образом:

1010 = 10102 = 128 = A16

1610 = 100002 = 208 = 1016

25510 = 111111112 = 3778 = FF16

9610 = 1408 = 11000002

Таким образом, чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

В любых ЭВМ длина разрядной сетки фиксирована, что принципиально ограничивает точность и диапазон представления чисел.

Если n > 0 – длина разрядной сетки, то

(Aq)max = qn - 1

(Aq)min = -(qn - 1)

Например, если в двоичной системе счисления n=3, то (A2)max = 1112 = 710,

Наши рекомендации