Нормальному распределению
Чтобы установить, что результаты измерений принадлежат (или не принадлежат) тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.
В случае проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению при числе результатов n > 50 предпочтительным является один из критериев: Пирсона χ2 или Мизеса – Смирнова ω2. В работе используется критерий Пирсона.
При числе результатов измерений 15 < n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.
При n < 15 гипотеза о принадлежности результатов измерений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов измерений используется распределение Стьюдента.
Для проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.
Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.
1. Исправленные результаты измерений располагаются в порядке возрастания: x1, x2,..., xn, где xi < xi+1.
2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов измерений:
Rn = xn – x1.
3. Этот диапазон разбивается на r одинаковых интервалов (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32 lg n с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.
4. Определяется ширина интервала:
5. Определяются границы интервалов [xj-1, xj] так, чтобы верхняя граница j-го интервала xJв = j·Δ, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j – 1)-го интервала: xjн = x(j-1)н.
6. Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа nj – частость попадания результата измерений в интервал.
7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов измерений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Δj, и на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна nj.
По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.
Критерий согласия Пирсона χ2 характеризует меру отклонения результатов измерений от теоретически предсказанных и рассчитывается по формуле:
(3.4)
где nj – частость попадания результатов измерений в j-й интервал; Pj – теоретические значения вероятности попадания результатов в j-й интервал, которые вычисляются по формуле:
Pj = Ф(zjв) – Ф(z(j-1)в), (3.5)
где Ф(z) – функция Лапласа; 
Р1 = Ф(z1в).
Таблица значений функции Лапласа для некоторых z приведена в [1].
После вычисления значения χ2 для заданного уровня значимости ∝ и числа степеней свободы 𝜈 = r – k – 1 (где r – количество разрядов разбиения; k – число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, причем для нормального распределения k = 2), по таблицам χ2 – распределения находят критическое значение критерия согласия χ2кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости α = 0,05. Значения χ2кр для этого уровня значимости приведены в [1].
Если χ2 < χ2кр принимают гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых дают формулы (3.1) и (3.2). В противном случае (χ2 ≥ χ2кр) гипотеза отвергается.