Полярные системы координат

Рис.4: Полярные системы координат

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел .

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата ρ определяет расстояние от точки до полюса, координата — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку.

Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае.

Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (где T-период функции), которым соответствует одна и та же точка при любых целых n.

Для полюса ρ = 0, угол произвольный.

Иногда допускаются отрицательные значения ρ, в этом случае координаты и определяют одну и ту же точку плоскости.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Цилиндрические системы координат

Рис. 5: Цилиндрические системы координат

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

§ — расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от Pдо оси Z.

§ — угол между осью X и отрезком OP'.

§ z равна аппликате точки P.

При использовании в физических науках и технике рекомендует использовать обозначения .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x² + y² = c², а в цилиндрических — очень простое уравнение ρ = c. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z

и обратно:

ρ=sqrt(x²+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Проекции

ПРОЕКЦИЯ (от лат. projectio, букв. - бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой-либо другой поверхности).

По расположению центра проекции относительно плоскости проекции различаются центральная и параллельные проекции.

При параллельной проекции центр проекции находится на бесконечном расстоянии от плоскости проекции. Проекторы представляют собой пучок параллельных лучей. В этом случае необходимо задавать направление проецирования и расположение плоскости проекции. По взаимному расположению проекторов, плоскости проекции и главных осей координат различаются ортогональные, прямоугольные аксонометрические и косоугольные аксонометрические проекции. При ортогональной проекции проекторы перпендикулярны плоскости проекции, а плоскость проекции перпендикулярна главной оси. Т.е. проекторы параллельны главной оси.

Центральная и параллельная проекции

При аксонометрической проекции имеется одна из двух перпендикулярностей:

- при прямоугольной аксонометрической проекции проекторы перпендикулярны плоскости проекции, которая расположена под углом к главной оси;

- при косоугольной аксонометрической проекции проекторы не перпендикулярны плоскости проекции, но плоскость проекции перпендикулярна к главной оси.

Изображение, полученное при параллельном проецировании, не достаточно реалистично, но передаются точные форма и размеры, хотя и возможно различное укорачивание для различных осей.

При центральной проекции расстояние от центра проекции до плоскости проецирования конечно, поэтому проекторы представляют собой пучок лучей, исходящих из центра проекции. В этом случае надо задавать расположение и центра проекции и плоскости проекции. Изображения на плоскости проекции имеют т.н. перспективные искажения, когда размер видимого изображения зависит от взаимного расположения центра проекции, объекта и плоскости проекции. Из-за перспективных искажений изображения, полученные центральной проекцией, более реалистичны, но нельзя точно передать форму и размеры. Различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции в зависимости от того по скольким осям выполняется перспективное искажение. Иллюстрация центральной проекции приведена на рис.4.

На рис.4. приведена классификация описанных выше плоских проекций.

Классификация плоских проекций

Параллельные проекции. Вначале мы рассмотрим ортогональные проекции, используемые в техническом черчении, в регламентированной для него правосторонней системе координат, когда ось Z изображается вертикальной. Затем будут проиллюстрированы аксонометрические проекции также в правосторонней системе координат, но уже более близкой к машинной графике (ось Y вертикальна, ось X направлена горизонтально вправо, а ось Z - от экрана к наблюдателю). Наконец выведем матрицы преобразования в левосторонней системе координат, часто используемой в машинной графике, с вертикальной осью Y, осью X, направленной вправо и осью Z, направленной от наблюдателя.

Использование проекций в техническом черчении регламентируется стандартом ГОСТ 2.317-69. Наиболее широко, особенно, в САПР используются ортогональные проекции (виды). Вид - ортогональная проекция обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета, расположенного между наблюдателем и плоскостью чертежа.

В техническом черчении за основные плоскости проекций принимают шесть граней куба (рис. 5).

Ортогональные проекции (основные виды) и их расположение на листе чертежа

1.Вид спереди, главный вид, фронтальная проекция, (на заднюю грань V),

2.Вид сверху, план, горизонтальная проекция, (на нижнюю грань H),

3.Вид слева, профильная проекция, (на правую грань W),

4.Вид справа (на левую грань),

5.Вид снизу (на верхнюю грань),

6.Вид сзади (на переднюю грань).

Очевидно, что при ортогональной проекции не происходит изменения ни углов, ни масштабов.

При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; измерение же расстояний вдоль каждой из координатных осей в общем случае должно выполняться со своим масштабным коэффициентом.

При изометрических проекциях укорачивания вдоль всех координатных осей одинаковы, поэтому можно производить измерения вдоль направлений осей с одним и тем же масштабом (отсюда и название изометрия).

Аксонометрическая прямоугольная изометрияпроекция куба со стороной A. При этой проекции плоскость проецирования наклонена ко всем главным координатным осям под одинаковым углом. Стандартом регламентируется коэффициент сжатия, равный 0.82, а также расположение и взаимные углы главных координатных осей, равные 120^ как это показано в левом верхнем углу рис. 6. Обычно сжатие не делается.

Аксонометрическая прямоугольная изометрическая проекция куба со стороной A

При диметрической проекции две из трех осей сокращены одинаково, т.е. из трех углов между нормалью к плоскости проекции и главными координатными осями два угла одинаковы.

Аксонометрическая прямоугольная диметрия проекция куба со стороной A. Там же показаны регламентируемые расположение осей и коэффициенты сжатия. Обычно вместо коэффициента сжатия 0.94 используется 1, а вместо 0.47 - 0.5.

Рис.7. Аксонометрическая прямоугольная диметрическая проекция куба со стороной A

В косоугольных проекциях плоскость проекции перпендикулярна главной координатной оси, а проекторы расположены под углом к ней. Таким образом, аксонометрические косоугольные проекции сочетают в себе свойства ортогональных и аксонометрических прямоугольных проекций.

Наиболее употребимы два вида косоугольной проекции - фронтальная (косоугольная) диметрия (проекция Kabinett - кабине) и горизонтальная (косоугольная) изометрия (проекция Kavalier - кавалье) или военная перспектива.

В случае фронтальной (косоугольной) диметрии при использовании правосторонней системы координат экрана плоскость проецирования перпендикулярна оси Z. Ось X направлена горизонтально вправо. Ось Z изображается по углом в 45^ относительно горизонтального направления. Допускается угол наклона в 30 и 60^. При этом отрезки, перпендикулярные плоскости проекции, при проецирования сокращаются до 1/2 их истинной длины. На рис. приведена (аксонометрическая косоугольная) фронтальная диметрическая проекция куба со стороной A, там же показаны регламентируемые коэффициент сжатия, равный 0.5 и расположение осей.

Рис. 8. Аксонометрическая косоугольная фронтальная диметрическая проекция куба со стороной A

В случае же (аксонометрической косоугольной) горизонтальной изометрии, как следует из названия, плоскость проецирования перпендикулярна оси Y а укорачивания по всем осям одинаковы и равны 1. Угол поворота изображения оси X относительно горизонтального направления составляет 30^. Допускается 45 и 60^ при сохранении угла 90^ между изображениями осей X и Z. Иллюстрация этого приведена на рис.9 .

Рис. 9. Аксонометрическая косоугольная горизонтальная изометрическая проекция куба со стороной A

Центральная проекция

Наиболее реалистично трехмерные объекты выглядят в центральной проекции из-за перспективных искажений сцены. Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции будут сходиться в точке схода. В зависимости от числа точек схода, т.е. от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции. Иллюстрация одно-, двух- и трехточечной центральных проекций куба приведена на рис. 12.

Рис.12. Одно-, двух- и трехточечная центральные проекции куба

Наиболее широко используется двухточечная центральная проекция.

Растрирование

Растрирование (Screening) - это метод передачи полутонов изображения на неполутоновых устройствах, с помощью специальных, простых геометрических фигур - растровых точек.

Состоит он в следующем. Исходное полутоновое изображение для печати, которое нам необходимо передать на неполутоновом устройстве, анализируется, и выводится на печать набором специальных, геометрически правильных фигур, - растровых точек, характеристики которых определяют цвет нашего изображения и его визуальную (оптическую) плотность. А растровая точка (screen dot, или raster dot) - это элементарная простая геометрическая фигура, формирующая растровый рисунок. Она может быть различной формы, и за время существования полиграфической отрасли их было перепробовано целое множество. О наиболее часто используемых формах растра будет сказано ниже.

Существуют две методики растрирования и соответственно два способа передачи полутонов на неполутоновых устройствах:

1.печать растровыми точками одинакового размера (но разным их количеством);

2.печать растровыми точками различного размера (при их неизменном количестве).

Рассмотрим оба метода формирования рисунка подробнее.

В первом случае, фактически, меняется частота появления растровых точек на бумаге, в зависимости от насыщенности изображения. Поэтому этот метод растрирования называется частотно - модулированным (ЧМ - растрирование, англ. FM-screening). Растровые точки, при формировании рисунка этим методом, наносятся хаотично и не упорядочено одна относительно другой (поэтому растры этого типа иногда называют нерегулярными или стохастическими).

У таких растров всего один непосредственный параметр - размер отдельно взятой точки, который определяется настройками драйвера печати и характеристиками устройства вывода - размером микропятна печатающего устройства. Минимальные значения этого параметра ограничены объемом капли, создаваемой печатающей готовкой, который на практике у современных моделей принтеров обычно колеблется от двух до нескольких десятков пиколитров. По сути, устанавливая в диалоговом окне принтера, печатающего этим растром, мы устанавливаем разрешение, или максимальную плотность нанесения точек на единицу длины печати. Эта величина, во многом определяющая качество печати, называется разрешением в точках на дюйм, и обозначается как dpi (dots per inch). Понятно, что чем мельче размер отдельно взятой капли, и чем выше разрешение в dpi, тем меньше будет заметна дискретность готового отпечатанного изображения.

Наиболее типичный и распространенный пример устройства, в котором используется нерегулярный стохастический FM - растр - это струйный принтер. С физической точки зрения сформировать такой растр достаточно просто: печатающая головка принтера просто наносит чернила на запечатываемый материал в виде множества мелких капелек более или менее одинакового размера (повторяемость размера капли определяется уже не настройками печати, а классом точности печатающего узла принтера). Изменяется только интенсивность падения капель красителя на запечатываемый материал, что и определяет относительную плотность запечатываемости каждого участка. Таким образом, сформулируем краткое определение: ЧМ - растрирование (FM - screening) - это метод получения полутонов в печатаемом изображении с использованием растровых точек одинакового размера с переменным их числом на единицу площади запечатываемой поверхности. Ниже на рисунке Вы можете посмотреть увеличенный фрагмент простого изображения, отпечатанный с помощью этой методики растрирования.

Пример нерегулярного ЧМ - растрирования

Простота формирования этого растра во многом может натолкнуть вас на мысль о простоте профессионального применения в печати этого растра. К сожалению, это не так. То, что хорошо и достаточно просто для настольного принтера, не всегда просто и достижимо в "большой" полиграфии. Как правило, использование в ней нерегулярных частотно - модулированных растров сопряжено с целым рядом практических трудностей - требуется использование значительно более высококачественного оборудования, как при печати, так и на допечатной стадии. Большинство изданий, как и журнал, в котором напечатана эта статья, печатается без использования этой технологии растрирования.

Однако полиграфисты не были бы полиграфистами, если бы ими не был уже достаточно давно придуман альтернативный способ растрирования. Этот метод, повсеместно используемый в печати, - это так называемое амплитудно-модулированное растрирование, или АМ - растрирование (AM - screening). Краткое описание этого метода растрирования таково: это метод получения полутонов с использованием растровых точек переменного размера, с неизменным их числом на единицу площади запечатываемой поверхности. В АМ - растрах используется несколько другой подход к формированию рисунка, в отличие от предыдущего рассмотренного нами метода. В зависимости от того, насколько светлым или темным является определенный участок изображения, его печать на бумаге происходит в виде растровых точек разного размера. В светлых участках точки достаточно малы и малозаметны. В полутоновой части они занимают примерно половину запечатываемой площади рисунка и формируют характерную "шахматку" (хотя это за висит от формы растровой точки), а в теневых участках точки становятся настолько велики, что занимают почти всю площадь запечатываемого материала, при этом промежутки между растровыми точками становятся практически не видны. Значение площади, занимаемое растровой точкой в изображении, принято называть растровой плотностью, и выражать в процентах. Например, растровая плотность в 50% подразумевает, что растровая точка занимает половину площади запечатываемого материала. Именно поэтому, например, в известном редакторе растровой графики Adobe Photoshop цветовые значения в RGB задаются как число в пределах от 0 до 255 (в рамках 256 градаций на один канал изображения), а цветовые значения в CMYK - в процентных значениях от 0 до 100. Число градаций и глубина цвета, однако, при этом остаются без изменений - на один канал CMYK - изображения по-прежнему приходится 8 бит информации (в данном случае мы не рассматриваем случаи использования повышенной глубины цвета).

Пример АМ - растрирования

Сначала читателю может показаться, что второй метод формирования изображения достаточно сложен и несколько неуклюж по сравнению с предыдущим. Однако, это только первое впечатление. Не смотря на то, что у амплитудно-модулированных растров имеется огромное число недостатков, среди которых - относительная дискретность изображения, возможность появления муара в печати или при повторном сканировании, и сравнительная трудность в реализации алгоритмов растрирования, по сравнению с FM - растрами на допечатной стадии, в целом, его значительно проще печатать, и он наиболее часто используется в "большой" полиграфии, а также в большинстве моделей "не струйных" принтеров. "Бутылочным горлышком" стохастических растров осталось высокая сложность их практического получения в профессиональной печати, нелинейность градационных показателей растра и обычно достаточно высокие требования к печатному оборудованию для его воспроизведения. Ответом печатной индустрии был отказ от массового применения стохастических методов растрирования, не смотря на все их потенциальные преимущества. "Стохастику" оставили чуть ли не только для "настольных струйных принтеров", а во всех остальных случаях профессиональной печати стали использовать амплитудно-модулированные растры.

Кстати, оговорюсь сразу, полного отказа от этой технологии, конечно же, не произошло, в силу ряда ее преимуществ, однако, большая часть рынка все-таки использует традиционное АМ - растрирование. Мне трудно назвать конкретную цифру в процентах, чтобы четко сравнить растры по частоте их использования, но доля практического применения частотно-модулированных растров по сравнению с амплитудно-модулированными все еще остается достаточно мала.

Некоторые тонкости АМ - растрирования

При использовании AM - растров, актуален не только вопрос о размерах, но и о форме растровой точки, в отличие от предыдущего метода растрирования, где форма точки отсутствовала как таковая. Вместо нее на запечатываемом материале после печати появлялась достаточно малая капелька тонера, краски или чернил принтера, а размер точки, по сути, определялся настройками драйвера принтера (на аппаратном уровне - объемом микрокапли используемого принтера). Дело в том, что от того, каким АМ - растром будет напечатан макет, а также от формы растровой точки, во многом зависит визуальное восприятие изображения наблюдателем. Форма растровой точки (Raster dot shape) строго определена и чаще всего зависит от конкретной модели печатающего устройства, либо от программных настроек драйвера, если он позволяет выбирать форму растра среди нескольких альтернативных вариантов. Без необходимости и точного понимания того, что Вы делаете, и какой результат Вы планируете получить, менят ь форму растровой точки не следует. К наиболее часто используемым формам растровых точек можно отнести эллиптическую, ромбовидную, квадратную и круглую точки.

Различные формы растровых точек

Многие читатели, вероятно, уже знакомы с понятием линиатуры. Этот параметр относится только к регулярным амплитудно-модулированным растрам и обозначает плотность укладки пространственных линий растра на единицу длины (обычно - дюйм). Для обозначения термина "линиатура" используется аббревиатура - lpi, расшифровывающаяся как lines per inch (число линий на дюйм). Чем выше частота укладки линий на единицу длины изображения, тем меньше заметна дискретность изображения, обусловленная его растровой структурой. Наиболее типичные значения линиатуры печати - 60, 85, 100, 120, 133, 150, 175, 200 lpi и так далее. Человек, обладающий среднестатической остротой зрения, как правило, не замечает растра в изображениях, отпечатанных с линиатурой более 133 lpi, при просмотре изображений с расстояния в 25-35 сантиметров.

Линиатура в растровом изображении

Как я уже сказал, повышение линиатуры печати в целом улучшает ощущение зрителя от просматриваемого изображения. Чем выше линиатура, тем большее число деталей изображения можно передать в печати. Однако, для печати высоких линиатур необходимо также использование высокого аппаратного разрешения печати принтера - иначе изображение, имея визуально большую степень детализации, сильно проиграет в числе доступных ему градаций печати. Ниже на приведенном рисунке показаны формы двух растровых точек одной и той же линиатуры и растровой плотности, но при различном разрешении принтера в dpi.

Правильность форм растровых точек при разных разрешениях печати

Из рисунка видно, что "аккуратность" прорисовки формы каждой отдельно взятой растровой точки находится в прямой зависимости от разрешения печати. Таким образом, если разрешение печати будет недостаточно высоко, погрешность прорисовки растровых точек будет высокой. Из-за низкого разрешения печати мы не увидим разницы между двумя растровыми точками с небольшой разницей по их плотности. Например, участки изображения с плотностью в 35 и 37% станут неразличимы. В результате, при печати могут частично пострадают градации изображения, и возникнет так называемый эффект постеризации - явление потери оттенков, что хорошо заметно на участках тонких переходов цветов и на плавных градиентах.

Из теории известно, что при глубине цвета 8 бит на канал, например, в черно-белом изображении мы можем получить до 256 различных оттенков серого. На практике, для качественной печати всех оттенков исходного изображения, мы должны обеспечить как минимум, 16-кратный запас по разрешению печати, в зависимости от текущей линиатуры. Нетрудно подсчитать, что при линиатуре печати 150 lpi (это стандартное значение линиатуры для большинства печатных изданий), для качественной передачи всех возможных оттенков изображения, мы должны обеспечить разрешение печати не менее 2400 dpi. Поскольку далеко не каждый принтер способен печатать с таким разрешением, порядок используемых ними линиатур обычно несколько меньше. В диалоговых окнах драйверов большинства принтеров обычно выбирается разрешение печати принтера в dpi, а в зависимости от него подбирается адекватное значение линиатуры, для более или менее качественных характеристик печати.

Передача многоцветных рисунков с помощью растра

Технологически все достаточно просто, когда при печати используется всего одна краска, как в черно-белых принтерах. Сложнее формируется рисунок, если используется несколько базовых красок или чернил.

Например, струйный принтер, c набором чернил базовых цветов, формирует цветное изображение путем нанесения определенного числа точек чернилами того или иного цвета в разные участки запечатываемого изображения. Для получения цветов, которые отсутствуют среди базовых, используется некоторое их сочетание. Так, например, зеленый цвет получается при нанесении голубых (Cyan) и желтых (Yellow) точек, красный - при нанесении пурпурных (Magenta) и желтых (Yellow). Аналогичным образом получаются все многообразие остальных цветов. Но, как я уже говорил раньше, струйный принтер печатает нерегулярным растром из-за относительной простоты его физического формирования. Амплитудно-модулированные растры несколько сложнее, и схемы получения многоцветных изображений с их использованием используются иные. Дело в том, что для растровых точек разных цветов необходимо использование различного их геометрического положения друг относительно друга. Это оптически позволяет наблюдать нам более чистые цвета в светлых участках изображения, а также избежать появления раздражающих глаз интерференционных картин, возникающих иногда в отрастрированных изображениях (об этом еще будет сказано ниже). Геометрический смысл взаимного смещения растровых точек относительно друг друга состоит в том, чтобы повернуть растровые структуры, а значит и каждую растровую точку в отдельности, на некоторое число градусов. Таким образом, еще один параметр амплитудно-модулированных растров - это угол его наклона. Угол наклона растра (Screening angle) - это величина относительного угла поворота растровых точек друг относительно друга и относительно общей оси изображения. Этот параметр принимает особое значение при цветной печати, так как печать каждой краски осуществляется с использованием разных углов наклона растра для каждой из использованных красок. Ниже на рисунке показан пример растра с углами наклона в 15, 0 и 45 градусов.

Различные углы наклона растра

Значения углов наклона растра стандартизированы, и без особой надобности менять их местами не рекомендуется. Для голубой краски стандартным значением является угол в 15 градусов, для пурпурной - 75, для желтой 0, для черной - 45. Кроме того, используется этот же набор углов наклонов растра, с дополнением угла наклона растра 90 градусами (например, для голубой краски можно использовать угол в 105 градусов вместо 15 и т.д.). Нельзя использовать одни и те значения угла наклона растра для разных красок одновременно - это вызовет сильнейшие искажения изображения, проявляющиеся в изменении цвета и появлении интерференционной периодической структуры, возникшей из-за наложения двух периодических растровых структур. Эти паразитные, периодические структуры называются муаром и в случае их появления, как правило, являются 100%-м браком для отпечатанного изображения. Таким образом, муар (moire) - паразитный, раздражающий глаз эффект, возникающий в неверно отрастриров анном или повторно отрастрированном изображении.

Переназначать углы наклона растра способен далеко не каждый принтер. Обычно, для возможности переназначения углов наклона растра требуется использование PostScript - принтера, или же специализированного программного обеспечения. Использование различных углов наклона растра также влияет на наше восприятие изображения. Кроме того, например, при печати на черно-белом принтере, угол наклона растра единственной используемой черной краски или тонера, как правило, составляет 45 градусов. Выбор этого угла не случаен, так как именно при этом его значении изображение визуально минимально "разбито" дискретностью растровой структуры.

В профессиональной полиграфии используются растры, создающие различные по форме и зрительно-оптическим свойствам растровые розетки. Розетки растра (raster rosette) - это элементарные ячейки изображения, состоящие из набора растровых точек, формирующих это изображение. Это простые, геометрически правильные узоры, образуемые на бумаге целыми группами растровых точек различных цветов. Понятие розетки растра имеет смысл только при рассмотрении цветной печати. Расположение растровых точек в розетке растра не случайно, и выбрано путем долгих экспериментов полиграфистов-теоретиков в тесном содружестве с полиграфистами-практиками.

Растровая розетка при 20% и 50% растровой плотности

Кроме всех упомянутых в статье технологий, существуют еще и некоторые "гибридные" технологии, использующиеся на практике. Это так называемые комбинированные растры. Комбинированные растры - это растры, одновременно обладающие достоинствами АМ и FM - методов растрирования, рассмотренных выше и лишенные некоторых их недостатков. Соответственно, у них может изменяться как число точек на единицу площади запечатываемого материала, так и размер точек. В настольных принтерах они применяются относительно недавно, и ее поддержка в драйвере имеется далеко не во всех моделях. В профессиональной "большой" полиграфии они используются еще реже.

И, в завершение этой небольшой статьи, хотелось бы добавить, что в этом обсуждении мы затронули только наиболее фундаментальные и важные понятия, использующиеся в профессиональной и "настольной" полиграфии, касающиеся формирования полутоновых изображений на бумаге. Далеко не все нюансы технического и технологического процесса формирования изображения были рассмотрены. Но все это уже темы для отдельного, обстоятельного разговора.