Многофакторный дисперсионный анализ

При проведении маркетинговых исследований часто приходится иметь дело с одновременным влиянием нескольких факторов [9].

• Как меняется намерение потребителей купить товар данной торговой марки при различных уровнях цены и распределения?

• Как уровень рекламы и уровень цен (высокий, средний, низкий) одновременно влияют на продажи товара данной торговой марки?

• Влияет ли на выбор потребителем данной торговой марки уровень образования (ниже среднего, среднее, колледж, высшее) и возраст?

• Как осведомленность об универмаге (высокая, средняя, низкая) и представление о нем (позитивное, нейтральное, негативное) влияют на предпочтение потребителем этого магазина?

При определении влияния на зависимую переменную нескольких факторов можно использовать многофакторный дисперсионный анализ. Главное преимущество этого методы в том, что он позволяет исследователю изучать взаимодействие факторов. Взаимодействия(interaction) имеют место, когда эффекты одного фактора на зависимую переменную зависят от уровня других факторов.

Взаимодействие (interaction)

При оценке зависимости между двумя переменными взаимодействие имеет место, если влияние ai зависит от уровня Xi, и наоборот.

Процедура многофакторного дисперсионного анализа аналогична процедуре однофактор-ного дисперсионного анализа. Статистики, соответствующие многофакторному дисперсион­ному анализу, также определяются аналогично определению статистик в однофакторном дис­персионном анализе. Рассмотрим простой пример, в который входят факторы Х^Х₂с уровня­ми с₇ и ^соответственно. В этом случае полная вариация раскладывается следующим образом:

SS_полная ⁼ SSsa счет Х₁ + SSza счет Х₂ + 85за счет взаимодействия Х₁ и Х₂ +SS_eHympu или

ss_y=ss_Xi+ss_Xi+ss_XiX2+ss_oulll6Ktl

Большее влияние Xj будет отражаться в большем отличии среднего в уровнях X_t и более вы­соком значении 55_Д] . Это же касается и фактора Х₂. Чем сильнее взаимодействие между факто­рами Х₁ и Х₂, тем больше значение SS_X^ . С другой стороны, если Х₁ и Х₂не зависят один от дру­гого, то значение SS_X^ приближается к нулю [10].

Степень объединенного влияния (эффекта) двух факторов называют полным эффектом, или множественной корреляцией n² (multiple л²), вычисляемой по формуле:

„ _ (SS_Xi

Множественная корреляция r\2 (multiple r\2)

Степень объединенного влияния двух (или более) факторов, или полный эффект.

Значимость полного эффекта (significance of the overall effect) проверим с помощью У⁷-критерия, используя формулу:

,_)Д, }ldf_n _ SS_Xi^^ ldf_n _ MS_Xi^_x^

F=-

где

MS

df_n — число степеней свободы для числителя

= (С, - 1) + (С₂- 1) + (С, - 1) <С₂- 1) =С,С₂- 1

df_d — число степеней свободы для знаменателя

= N-c,c₂

MS — средний квадрат.

Значимость полного эффекта (significance of the overall effect)

Проверка наличия различий между некоторыми из групп факторного эксперимента.

Если полный эффект статистически значимый, то на следующем этапе изучают значимость эффекта взаимодействия (significance of the interaction effect) [11]. Если нулевая гипотеза утвер­ждает, что взаимодействие между факторами отсутствует, то соответствующий F-критерий вы­числяют по формуле:

Значимость эффекта взаимодействия (significance of the interaction effect)

Проверка значимости взаимодействия между двумя или больше независимыми переменными.

Если окажется, что эффект взаимодействия статистически значимый, значит, эффект А^ з висит от Х₂, и наоборот. Поскольку эффект (влияние) одного фактора неоднородный, а завис от уровня другого фактора, то вообще бессмысленно проверять значимость главных эффекте Однако имеет смысл проверить значимость главного эффекта каждого фактора, если эффе взаимодействия статистически незначимый [12].

Значимость главного эффекта каждого фактора (significance of the main effect of each factc можно проверить следующим образом (для Xj): MS_r

MS₀₁

где

df_d=N-_Clc₂

Значимость главного эффекта каждого фактора (significance of the main effect of each factor)

Проверка значимости главного эффекта для каждого отдельного фактора.

При анализе предполагалось, что план эксперимента сбалансированный (число случаев каждой ячейке одинаково). Если это не так, то анализ становится сложнее. Приведенный ни; пример иллюстрирует применение многофакторного дисперсионного анализа.

Иллюстрация применения многофакторного дисперсионного анализа. Возвратившись к да ным табл. 16.4, изучим эффекты, обусловленные влиянием уровня внутримагазинной рекла\ и уровня купонной распродажи на продажи магазина. Результаты выполненного на компькл ре обсчета дисперсионного анализа 3x2 приведены в табл. 16.5. Для главного эффекта, bi званного влиянием уровня внутримагазинной рекламы, сумма квадратов SS^, число степей свободы и средний квадрат MS^ те же, что и в табл. 16.4. Сумма квадратов для эффекта, об словленного уровнем купонной распродажи $8_Ж= 53,333 с одной степенью свободы, что пр водит к значению среднего квадрата М$„, равного сумме квадратов. Объединенный эффект о ределяют, сложив суммы квадратов, обусловленные двумя главными эффектами (SS^ + 55^ = 106,067 + 53,333 = 159,400). Так же поступаем и со степенями свободы (2 + 1) = 3. Для э< фекта взаимодействия внутримагазинной рекламы и купонной распродажи сумма квадрат равна SS_xpxc = 3,267 с (3 - 1) х (2 - 1) = 2 степенями свободы, и значит, средний квадрат рав MSxpn — 3,267/2 = 1,633. Для полного эффекта сумма квадратов состоит из суммы квадратов д главного эффекта рекламы, главного эффекта купонной распродажи и эффекта взаимодейс вия = 106,067 + 52,333 + 3,267 = 162,667 с 2 + 1 + 2 = 5 степенями свободы, и значит, среди] квадрат равен 162,667/5 = 32,533. Однако обратите внимание, что статистики ошибки отличают от приведенных в табл. 16.4. Это обусловлено тем, что сейчас у нас два фактора вместо одно! SS_()Uiuf)KU = 23,2 с (30 — 3 х 2) или 24 степенями свободы, отсюда средний квадрат М8_()шив1<и— 0,967.

Таблица 16.5. Двухфакторный дисперсионный анализ

Источник вариации	Сумма квадратов	Степени свободы	Средний квадрат	F	Значимость F	of
Главные эффекты
Внутримагазинная реклама	106,067		53,033	54,862	0,000	0,557
Купонная распродажа	53,333		53,333	55,172	0,000	0,280

Окончание табл. 16.5

Источник вариации	Сумма Степени квадратов свободы	Средний F Значимость F of квадрат
Объединенный	159,400 3	53,133 54,966 0,000
Двухфакторное взаимодействие	3,267 2	1,633 1,690 0,206
Модель	162,667 5	32,533 33,655 0,000
Остаточный компонент (ошибка)	23,200 24	0,967
Итого	185,867 29	6,409
Средние ячеек
Уровень внугримагазинной рекламы	Купонная Количество распродажа (наблюдений)	Среднее
Высокий	Да 5	9,200
Высокий	Нет 5	7,400
Средний	Да 5	7,600
Средний	Нет 5	4,800
Низкий	Да 5	5,400
Низкий	Нет 5	2,000
Средние факторного уровня
Уровень внутримагазинной рекламы	Купонная Количество распродажа (наблюдений	Среднее
Высокий		8,300
Средний		6,200
Низкий		3,700
	Да 15	7,400
	Нет 15	4,733
Общее среднее		6,067

F- критерий для проверки значимости полного эффекта равен:

с 5 и 24 степенями свободы. Полный эффект статистически значимый при уровне значимости, равном 0,05.

F- критерий для проверки значимости эффекта взаимодействия равен:

с 2 и 24 степенями свободы. Эффект взаимодействия статистически незначимый при уровне значимости, равном 0,05.

Поскольку эффект взаимодействия статистически незначимый, оценим значимость глав­ных эффектов, /"-критерий для проверки значимости главного эффекта внутримагазинной рекламы равен:

с 2 и 24 степенями свободы. Главный эффект рекламы статистически значимый при уровне значимости, равном 0,05.

F-критерия для проверки значимости главного эффекта купонной распродажи равен:

'1^33 } 0,967 J

с 1 и 24 степенями свободы. Главный эффект купонной распродажи статистически значим при уровне значимости, равном 0,05. Таким образом, чем выше уровень рекламы, тем вы продажи. Распространение премиальных купонов также повышает продажи. Эффект влиян каждого фактора не зависит от эффекта другого фактора.

Рассмотрим использование многофакторного дисперсионного анализа.

ПРИМЕР. Где делают качественные телевизоры?

Маркетологи исследовали эффекты, обусловленные влиянием страны-произволител телевизора на доверие людей к его качественным характеристикам: хороший звук, безотка; ность (надежность), четкое изображение и современный дизайн. Независимые переменнь включали цену, страну-изготовителя и каналы распределения телевизоров. Использовалс следующий план пересечения факторов: 2x2x2. Установили два уровня цен: 349,95 доллг ров (нижний) и 449,95 долларов (высший), взяли две страны-изготовителя — Корею и Сс единенные Штаты Америки, и два уровня каналов распределения —- в магазинах компани Hudson и в других магазинах.

Данные собирали в двух крупных пригородных торговых центрах в большом городе. 2 респондентов были отобраны случайным образом для каждой из восьми ячеек факторно! эксперимента, таким образом было привлечено 240 людей. В табл. 1 представлены результг ты обработки комбинаций переменных, которые оказали значимые эффекты на каждую \ зависимых переменных.

Таблица 1, Анализ значимости комбинаций независимых переменных (факторов)

Эффект, обусловленный Зависимая

влиянием следующих факторов: переменная

Страна х цена Страна х цена Страна х распределение Страна х распределение Страна х распределение

Хороший звук Безотказность Четкость изображения Безотказность Современный дизайн

Одномерный критерий, F	Степени свободы (df)	Sepoi
7,57	1,232	0,006
6,57	1,232	0,011
6,17	1,232	0,014
6,57	1,232	0,011
10,31	1,232	0,002

Направления эффектов взаимодействия "страна-распределение" для трех зависимых п< ременных показаны в табл. 2.

Таблица 2, Средние значения зависимых переменных для эффекта взаимодействия "страна-распределение"

Странахраспределение

Корея

Hudson

Другие магазины

Соединенные Штаты Америки

Hudson

Другие магазины

Четкое изображение Безотказность

3,67 3,18

3,60 3,77

3,42 2,88

3,47 3,65

Модный дизайн

3,82 3,15

3,53 3,75

В то время как рейтинг доверия к таким характеристикам, как четкость изображение безотказность и современный дизайн повышался при распределении южнокорейских тел( визоров через магазины Hudson больше, чем при продаже через других дистрибьюторов, эп

оказалось неверным для телевизоров производства США. Аналогично, направления эффек­тов взаимодействия "страна-распределение" для двух зависимых переменных показаны в табл. 3. При цене 449,95 долларов рейтинги доверия для "хорошего звука" и "безотказности" были выше для американских телевизоров, по сравнению с южнокорейскими, но совсем незначительное различие наблюдалось в отношении страны изготовления при стоимости телевизора 349,95 доллара.

Таблица 3. Средние значения зависимых переменных для эффекта взаимодействия "страна-цена"

Страна х цена Хороший звук Безотказность

$349,95

Корея 3,75 3,40

Соединенные Штаты Америки 3,53 3,45

$449,95

Корея 3,15 2,90

Соединенные Штаты Америки 3,73 3,67

Это исследование показывает, что доверие к характеристикам изделия для товаров, традиционно экспортируемых в Соединенные Штаты Америки компанией из быстро раз­вивающейся индустриальной страны, можно существенно повысить, если компания рас­пределяет свой товар через магазины известной розничной сети в США. В частности, ха­рактеристики изделия (четкость изображения, безотказность и модный дизайн) заслужи­вают доверия, если телевизоры сделаны в Южной Корее и распространяются через известную торговую сеть Соединенных Штатов Америки. Аналогично, такие характери­стики телевизоров, как "хороший звук" и "безотказность" заслуживают доверия, если те­левизоры сделаны в Соединенных Штатах Америки и продаются по более высокой цене, возможно, компенсируя потенциальный недостаток высоких производственных затрат в Соединенных Штатах Америки [13].

КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

При проверке различий в средних значениях зависимой переменной, связанных с влияни­ем контролируемых независимых переменных, часто необходимо учитывать неконтролируе­мые независимые переменные.

• При определении намерений потребителей относительно приобретения товара извест­ной фирмы в зависимости от цены необходимо учесть отношение к торговой марке.

• Для того чтобы определить, как различные группы под влиянием разных видов рекла­мы, оценивают торговую марку, необходимо проконтролировать, какой информацией априорно обладают члены этих групп.

• При определении влияния различных цен на потребление в семьях сухих завтраков мо­жет оказаться существенным такой фактор, как размер семьи.

В приведенных выше ситуациях следует использовать дисперсионный анализ, который включает, по крайней мере, одну категориальную независимую переменную и одну интерваль­ную или метрическую независимую переменную. Категориальную независимую переменную называют фактором, а метрическую — ковариатой. Чаще всего ковариату используют для уда­ления посторонней вариации из зависимой переменной, поскольку самыми важными являют­ся эффекты факторов. Вариацию в зависимой переменной, обусловленную ковариатой, удаля­ют корректировкой среднего значения зависимой переменной в пределах каждого условия экс­перимента. Затем, исходя из скорректированных оценок, выполняют дисперсионный анализ [14]. Значимость суммарного эффекта ковариат, как и эффект каждой ковариаты, про-

веряют с помощью соответствующих F- критериев. Коэффициенты ковариат позволяют поня" влияние, оказываемое на зависимую переменную. Ковариационный анализ наиболее полезе] когда ковариата линейно связана с зависимой переменной и не связана с факторами [15].

Для иллюстрации ковариационного анализа мы снова используем данные табл. 16.2. npej положим, что мы хотели бы определить эффекты, обусловленные влиянием внутри магазин не рекламы и купонной распродажи, на продажи, при наличии такой ковариаты, как принадлез ность покупателя к числу постоянных клиентов магазина. Предполагается, что принадле> ность к числу постоянных покупателей может также влиять на продажи универмага. Зависим; переменная представляла собой продажи. Как и ранее, реклама имела три уровня, а купонн; распродажа — два. Степень приверженности магазину, измеренная по интервальной шкал служила ковариатой. Результаты приведены в табл. 16.6.

Таблица 16.6. Ковариационный анализ

Источник вариации

Сумма квадратов