Построение проекций поверхностей вращения

Любую поверхность вращения можно задать определителем, в состав которого входят ось вращения i и образующая l : S(i,l). Алгоритмическая часть определителя заключается в названии. Т.е. название «поверхность вращения» означает, что каждая точка образующей l,вращаясь вокруг оси i, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна этой оси. Обычно ось поверхности вращения располагают перпендикулярно какой-либо плоскости проекций. Поэтому одна проекция окружности – параллели всегда представляет собой окружность истинного вида, а вторая проекция – есть отрезок, равный по длине диаметру окружности. Например, для точки A(A₁ , A₂) это окружность

с (с₁ ,с₂) (рис. 2.13).

Пример 1: Построить проекции поверхности вращения общего вида S(i, l), заданной проекциями геометрической части определителя (рис. 2.13). Построить горизонтальную проекцию линии а, принадлежащей поверхности.

Рис. 2.13 Рис. 2.14

Линия l – плоская кривая, расположенная в плоскости главного меридиана поверхности. Ось i ^ П₁, поэтому горизонтальная проекция поверхности ограничена тремя окружностями.Это: n₁ - горизонтальная проекция горла, m₁ - горизонтальная проекция экватора и k₁ - горизонтальная проекция окружности обреза. Фронтальные проекции этих окружностей вырождаются в отрезки. Это соответственно, n₂, m₂ и k₂(рис. 2.14).

Для построения линии l₂¢(левого полумеридиана)следует взять 8-10 произвольных точек. Обводим проекции поверхности с учетом видимости (рис. 2.15).

Для построения проекции кривой a(а₁)наП₁ необходимо взять несколько точек на a₂ (порядка 6-8 точек) (рис. 2.16).

Построение линии a₁ показано с учётом видимости кривой относительно плоскости П₁ , исходя из условия, что a₂ задана как видимая.

Главными являются следующие точки: точки 1 и 6 – ограничивающие кривую, точки 3 и 5 – отделяющие видимые участки кривой от невидимых.

Рис. 2.15 Рис. 2.16

Пример 2. Построить проекции поверхности вращения общего вида Ф(i,l). Достроить недостающие проекции точек А, В, С (рис. 2.17).

Решение:

В этой задаче проекции образующей l(l₁,l₂) не лежат в плоскости фронтального меридиана, поэтому нам необходимо повернуть образующую так, чтобы она оказалась в одной плоскости с осью вращения.

Каждая точка образующей на П₁, вращаясь вокруг оси i₁, опишет траекторию окружности - параллель, на П₂ ее проекция проецируется в прямую линию ^ i₂.

1. Возьмем на образующей l(l₁,l₂) 6 точек (рис. 2.18).

Введем каждую точку в плоскость фронтального меридиана. Например, точка 1опишет наибольшую, верхнюю параллель (экватор), точка 6 - наименьшую, нижнюю параллель (горло). Аналогичные построения проведем с остальными точками Þ правый полумеридиан.

2. Симметрично правому полумеридиану достраиваем левый (рис. 2.19). Обводим основной толстой линией проекции поверхности.

Рис. 2.17

3. Для построения недостающих проекций точек А, В, и С необходимо определить зоны видимости:

а) все точки, принадлежащие поверхности, относительно П₁будут видимы (изнутри).

б) видимость относительно П₂ на рис. 2.20 показана заштрихованной зоной. Для построения горизонтальной проекции точки А(А₁) необходимо:

- через точку А₂ провести параллель радиусом R (от оси до очерка) (рис. 2.20);

- на П₁ строим проекцию этой параллели радиусом R;

Рис. 2.18

- проводим линию связи от точки А₂ до пересечения с параллелью в заштрихованной зоне, т.к. точка А₂ - видима;

- проекция точки А(А₁) будет видимой.

Для построения точки В(В₁) проводим аналогичные построения.

Рис. 2.19

Рис. 2.20

4. Горизонтальная проекция точки С₁ расположена в незаштрихованной зоне, т.е. за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, фронтальная проекция точки будет невидимой. На П₁ через точку С₁ проведем параллель радиусом R¢¢ до пересечения с горизонтальной проекцией

Рис. 2.21

левого полумеридиана в точке, которую обозначим звездочкой.

Построим фронтальную проекцию этой точки и проведем через нее фронтальную проекцию параллели, которой и будет принадлежать точка С₂ (рис. 2.21).

Пример 3. Построить проекции конуса вращения Ф(i,l), у которого ось вращения занимает положение горизонтали. Линия а(а₁) Ì F, а₂ =? (рис. 2.22).

Для конусов вращения линия обреза задается окружностью.

Если ось вращения есть горизонталь или фронталь, то одна проекция окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный проекции оси и равный диаметру окружности. Другая проекция этой линии представляет собой эллипс. Большая ось эллипса занимает положение горизонтально проецирующей прямой. Малая ось эллипса занимает положение горизонтали.

Рис. 2.22

Разница между большой и малой осями эллипса не должна быть слишком большой или слишком малой. Поэтому угол наклона проекции к оси вращения рекомендуется задавать от 35 до 47° . Для более точного задания эллипса необходимо построить не менее 12 точек.

Очерковые образующие конуса следует проводить касательными к эллипсу, точки К₂и - точки касания. Чтобы построить проекцию линии а(а₁)наП₂ (а₂) на а₁отмечают несколько точек (чем больше, тем точнее будет построена кривая), проводят через них образующие и находят их проекции на соответствующих образующих на П₂ (рис. 2.23). Главными точками являются точки, принадлежащие очерковым образующим : 1, 6и8 и точка 5 – наивысшая точка. Точка 6 является границей видимости линии а на П₂.

Рис. 2.23

Пример 4.Построить проекции поверхности кольца L(i,l). Обозначить проекции горла n(n₁, n₂) и экватора m(m₁,m₂), А(А₂), А₁ =? В(В_1,) В₂= ? (рис. 2.24).

Каждая точка образующей на П₁, вращаясь вокруг оси i₁ опишет траекторию окружности - параллель, фронтальная проекция параллели проецируется в прямую линию ^ i.

1. Строим проекции правого полумеридиана (рис. 2.25).

2.Достраиваем симметрично проекции левого полумеридиана (рис. 2.26).

Рис. 2.24

Рис. 2.25 Рис. 2.26

3. Строим недостающие проекции точек А и В. Определяем видимость этих точек относительно П₁ и П₂, обозначаем проекции горла и экватора (рис. 2.27).

Рис. 2.27