Операции над множествами. Обозначение множеств и их элементов

Обозначение множеств и их элементов. Равенство множеств.

Подмножество ( включение ). Сумма ( объединение ) множеств.

Произведение ( пересечение ) множеств. Разность ( дополнение )

множеств.Симметричная разность множеств. Свойства

операций над множествами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .

Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А ,либо е В .

Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В , рис.2 ) есть множествоэлементов, каждый из которых принадлежит и А , и В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В .

Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множествоэлементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество:

А \ В = ( А – В ) ( В – А ).

Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы. 1. Множество детей является подмножеством всего населения.

2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-

жительных чисел является множество натуральных чисел.

3. Объединением множества рациональных чисел с множест-

вом иррациональных чисел является множество действи-

тельных чисел.

4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел

относительно множества неотрицательных целых чисел.

Множество содержится во множестве (множество включает множество ), если каждый элемент есть элемент :

В этом случае называется подмножеством , — надмножеством . Если и , то называется собственным подмножеством . Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

· пересечение:

· объединение:

Если множества и не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

· разность (дополнение):

· симметрическая разность:

· Декартово или прямое произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Билет 2.

Правило вида f: A->B, ставящее в соответствие каждому элементу множества A какой-либо элемент (или элементы) множества B, называется отображением из A в B. Пример: A - множество футбольных команд, B - множество населённых пунктов; каждой футбольной команде ставится в соответствие пункт, где находится её родной стадион (ну или стадион, где она официально играет "на своём поле", если нет собственного стадиона).

Если какому-либо элементу множества A соответствует более одного элемента множества B, то отображение многозначное. Пример многозначного изображения можно привести следующий. Пусть A - множество олигархов, B - множество особняков. Есть олигархи, владеющие несколькими особняками. Тогда отображение, ставящее в соответствие каждому олигарху его особняки, является многозначным.

В дискретной математике, как правило, рассматриваются однозначные отображения. Отображение из A в B однозначное, если всякому элементу из A поставлен в соответствие только один элемент из B. Пример однозначного отображения: пусть есть воинская часть, в ней множество солдат и множество батальонов. Отображение, ставящее в соответствие солдату батальон, в котором он числится, однозначное, если только в списках составов не допущено ошибок. Заметим, что определение однозначного отображения из A в B не запрещает ситуаций, когда двум разным элементам множества A соответствует один и тот же элемент из B. Ярко видно это по примеру с солдатами.

Далее мы рассмотрим некоторые виды однозначных отображений, для простоты понятие "однозначное" иногда будем опускать.