Цилиндрическая нормальная равноугольная проекция Меркатора на касательном цилиндре.
В ее основе лежит условие равноугольности, когда в любой точке показатели m и n равны . Для достижения этого условия при построении картографической сетки промежутки между параллелями с удалением от экватора искусственно раздвигают.
Представим себе, что параллели с глобуса переносят при проектировании на касательный цилиндр. При этом каждая из них растягивается пропорционально секансу широты параллели. (Секанс – это тригонометрическое понятие, выражающее луч (радиус) круга, протянутый до конца касательной черты за окружность)
В такой же мере растет показатель искажения длин по параллелям n . Чтобы в каждой точке карты показатель искажения длин по меридиану был ему равен, нужно и дуги меридианов также растягивать на каждом участке пропорционально секансу широты.
Полученная сетка обладает следующими свойствами. В ней нет искажений углов, форм малых фигур. Линия нулевых искажений всех других видов — экватор. С удалением от него искажения возрастают. Так, на широтах 45°, 60° и 75° показатели искажения длин соответственно равны 1,4; 2,0 и 3,85 (как и в цилиндрической квадратной проекции). Показатели искажения площадей на этих же широтах составляют квадраты приведенных чисел, т. е. равны (с округлением) 2,4 и 15.
Эту неперспективную проекцию разработал в 1569 г. фламандец Герард Кремер, известный под фамилией Меркатор. В проекции Меркатора на удаленных от экватора территориях сильно искажаются длины и площади. Несмотря на это, длительное время проекция Меркатора применялась для построения мировых карт.
Особенно широко проекция используется для создания морских карт с самым разным охватом территории — от мировых карт до карт отдельных заливов и портовых акваторий. Это связано с замечательным свойством картографической сетки, построенной в проекции Меркатора, изображать прямой линией локсодромию любого направления.
Локсодромией называют линию на поверхности земного эллипсоида с постоянным румбом, т. е. образующую на всех участках один и тот же угол с пересекаемыми меридианами. Пользуясь картой, составленной в проекции Меркатора, штурману корабля очень легко установить направление его пути по локсодромии. Для этого достаточно по линейке прочертить прямую линию между портами отправления и прибытия. Напомним, что кратчайшее расстояние на поверхности земного шара направлено по ортодромии. Но движение по ортодромии связано с необходимостью постоянно менять курс корабля, поэтому рассчитанный по ортодромии путь делят на участки, на каждом из которых корабль направляют по локсодромии.
Мировые карты в проекции Меркатора можно встретить в учебных атласах, изданных в России до 1917 г.
Цилиндрическая нормальная произвольная проекция Н. А. Урмаева. Советский геодезист Н. А. Урмаев в 1949 г. разработал цилиндрическую нормальную проекцию, у которой промежутки по меридианам между параллелями, увеличиваясь от экватора, растягиваются не так сильно, как в проекции Меркатора . Этим достигаются меньшие искажения площадей, конечно, за счет потери свойстваравноугольности. Об этом можно судить по величине показателей искажения площадей, которые на параллелях 45°, 60° и 75° соответственно равны 1,6; 2,8 и 6,5. По сумме свойств проекция является произвольной. В ней построены карты часовых поясов в Географическом атласе для учителей средней школы и в Учебном атласе мира.
Цилиндрическая косая произвольная проекция М. Д. Соловьева. Картографическая сетка в этой проекции строится путем вычислений на косом секущем цилиндре, одна из линий сечения которого с поверхностью глобуса (шара) по малому кругу касается параллели 60° с.ш. в точке ее пересечения с меридианом 100° в.д. (принимаемым за средний меридиан карты). Ось цилиндра составляет с осью глобуса угол в 15°.
На развернутом цилиндре малый круг сечения глобуса изображается прямой линией, не совпадающей с параллелью. Меридианы и параллели в этой проекции — кривые линии; промежутки по среднему (прямому) меридиану несколько увеличиваются к северу от линии малого круга сечения и уменьшаются к югу от нее. Северный полюс изображается точкой.
На линии малого круга (перпендикулярной к среднему меридиану) искажений нет. К северу от этой линии частные масштабы площади больше главного; показатель искажения Р в районе архипелага Северная Земля доходит до 2,0. К югу от линии нулевых искажений показатель Рменьше 1, у южных границ бывшего СССР равен 0,7.
Проекция была разработана в 1937 г. для карт СССР. До недавнего времени ее применяли для карт СССР, предназначенных для работы с учениками начальных классов. Сравнительно с другими проекциями для карт СССР она обладает заметными искажениями, но отличается многими методическими достоинствами. Форма сетки и особая компоновка карты в проекции Соловьева создают впечатление сферичности поверхности СССР и окружающих частей поверхности Земли. Кроме того, на ней изображается весь советский сектор Арктики, вплоть до точки Северного полюса. Это позволяет по карте определить, какие территории в СССР расположены севернее, какие южнее. В 80-х годах проекция была заменена на более современную.
Цилиндрические поперечные проекции используются преимущественно для построения крупномасштабных карт. Например, для советских топографических карт применяют поперечно-цилиндрическую равновеликую проекцию Гаусса-Крюгера.
АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Рассмотрим конкретные виды азимутальных проекций с преимущественным вниманием к тем из них, которые используются в учебной картографии. Различают перспективные и неперспективные азимутальные проекции.
Внешний облик картографических сеток и распределение искажений в перспективных азимутальных проекциях зависят от положения центра проектирования, т. е. точки пространства, от которой исходят проектирующие лучи. Рассмотрим эти различия на примере нормальных картографических сеток. Центр проектирования с поверхности шара (глобуса) на касательную плоскость Р может быть расположен в самом центре шара (К1), на его поверхности, в точке, противоположной точке касания картинной плоскости и глобуса (К2); она может быть также вне шара, на продолжении полярной оси глобуса (Кз) и, наконец, на продолжении той же оси в бесконечности (К4). Рис.
Если точка К расположена в центре шара, проекция называется центральной, а ее нормальная сетка имеет вид, изображенный в левой половине рисунка. Хотя на рисунке изображена лишь 1/4 часть получаемой картографической сетки, ее особенности отчетливо видны. По значительному увеличению отрезков меридианов на этой сетке можно заключить, что показатели искажения длин по радиусам (по меридианам) m с удалением от центра сильно возрастают. Несколько менее, но так же интенсивно увеличиваются радиусы параллелей на проекции, а следовательно, и показатели искажений длин n . Эти искажения влекут за собой и очень большие искажения площадей. В каждой точке карты w не равно 0°, поэтому и формы искажены. Все эти виды искажения иллюстрируют эллипсы искажений, а по сумме свойств проекцию относят к произвольным.
Проекция примечательна тем, что является одной из древнейших. Впервые ее применил для карты звездного неба в IV в. до н. э. древнегреческий философ Фалес. Если с Земли рассматривать небесный свод, то кажется, что находишься в центре сферической поверхности, т. е. видишь небесные светила в центральной проекции.
Cтереографическаякартографическая сетка При проектировании из точки на поверхности шара, противоположной месту касания картинной плоскости (К2), получается стереографическая картографическая сетка (на правой половине рис.). По своим свойствам эта сетка равноугольная, а искажения длин и площадей у нее меньше, чем в проекции центральной. В пределах карты полушария в каждой точке m = n, изменяясь от 1 в центре до 2 на краю. Соответственно показатель искажения площадей Р увеличивается в том же направлении от 1 до 4.
Ортографическая картографическая сетка образуется при проектировании из бесконечности, когда проектирующие лучи параллельны друг другу (и полярной оси глобуса). Как видно на рисунке промежутки между параллелями в этой проекции сильно уменьшаются к краю карты полушария. Следовательно, показатели искажения длин по меридианам также в этом направлении уменьшаются (теоретически они изменяются от 1 в центре до 0 на краю карты) . В то же время радиусы параллелей на проекции равны их радиусам на глобусе, т. е. длина параллелей при проектировании не изменяется и вдоль них нет искажения длин ( n=1).
Проекция имеет искажения углов, которые сильно возрастают к краям карты. По сумме свойств проекция относится к произвольным, в частности к равнопромежуточным по направлениям, перпендикулярным радиусам.
Чаще других применяются поперечные и косые ортографические картографические сетки. Так, в географическом атласе для 6-го класса на схеме, показывающей различия в падении солнечных лучей на земную поверхность, карты земных полушарий построены в ортографической поперечной проекции; при показе годового движения Земли вокруг Солнца четыре ее изображения представлены в косой ортографической проекции.
Из неперспективных азимутальных проекций рассмотрим две, часто применяемые в учебной картографии, — азимутальную равно-промежуточную Постеля и азимутальную равновеликую Ламберта.
Азимутальная равнопромежуточная проекция Постеля. Нормальная сетка в этой проекции имеет изображение полюса в центре карты, меридианы у нее прямые, под равными углами расходящиеся от точки полюса, а параллели — дуги концентрических окружностей с центром в точке полюса. Сетку строят при условии, что главный масштаб карты должен сохраняться по всем радиусам, в данном случае — по меридианам. Это условие реализуется, если отрезки меридианов между соседними параллелями будут равныи представлять выпрямленные дуги меридианов. Вычисление размеров этих отрезков выполняют по формуле:
2pR ·Dj
АА' = 360° ·М
где R — средний радиус Земли (6370 км); Dj — разница широт соседних параллелей, М — знаменатель главного масштаба карты.
В этой же проекции можно построить поперечную картографическую сетка в азимутальной равнопромежуточной проекции Постеля, а также косую сетка в этой же проекции. Все три варианта проекции (нормальная, поперечная и косая сетки) имеют общий характер распределения искажений. У всех точка нулевых искажений находится в центре карты. В нормальной проекции она при этом совпадает с изображением полюса, в поперечной — |находится в точке пересечения экватора со средним меридианом карты; в косой проекции Постеля также на среднем меридиане, но в точке, расположенной между экватором и полюсом (обычно посередине карты).
В этой проекции масштабы длин по радиусам от точки нулевых иска- жений не изменяются, а по направлениям перпендикулярным радиусам, они возрастают от центра к краям карты полушария примерно в полтора раза. Указанные два направления и являются главными, причем по радиусам действует наименьший показатель искажения длин b = 1, а по направлениям, перпендикулярным радиусам, действует наибольший показатель а, который изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полушария.
Если в нормальной сетке главные направлениясовпадают с линиями картографической сетки (когда а — n, b = m), то в двух других вариантах этого совпадения в общем нет. Исключением служит в обоих случаях лишь средний меридиан карты (вдоль него действует показатель b ), а в поперечной проекции также линия экватора.
Площади и углы в проекции Постеля искажаются. Показатель искажения площадей р = a - b изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полушария. В общем, азимутальная проекция Постеля относится к произвольным, равнопромежуточным по радиусам из центра карты.
Проекция Постеля была разработана автором в XVI в. Ее применяют для построения карт северного (южного) полушария или территорий с меньшим охватом, например карт Арктики и Антарктики. В этой проекции в географическом атласе для 8 класса построены карты Антарктиды; в Географическом атласе для учителей средней школы и в Учебном атласе мира (1979 г.) — карты Арктики и Антарктиды. В поперечной проекции Постеля строили в прошлом карты восточного и западного полушарий.