По виду нормальной картографической сетки
Вспомогательными поверхностями при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры.
48 Глава III. Математическая основа карт
Классификация проекций по виду картографической сетки 49
![]() | |||||
![]() | |||||
![]() | |||||
![]() |
![]() |
![]() |
Рис.3.5. Искажения в равновеликой (а), равнопромежуточной (б) и равноугольной (в) цилиндрических проекциях. Размеры и форма эллипсов искажений характеризуют искажения площадей и углов (форм).
Цилиндрические проекции — проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость (рис. 3.6). Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической. Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели — в виде прямых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.
Если ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это — поперечная цилиндрическая проекция. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг. В тех случаях, когда ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости-экватора, проекция называется косой цилиндрической.Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.
Конические проекции — поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрезается по образующей и разворачивается в плоскость (рис. 3.7). Как и в предыдущем случае, различают нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпадает с осью вращения Земли, поперечную коническую — ось конуса лежит в плоскости экватора и косую коническую — ось конуса наклонена к плоскости экватора.
В нормальной конической проекции меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели — дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус касается земного шара или сечет его в районе средних широт, поэтому в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США, вытянутые с запада на восток в средних широтах.
Азимутальные проекции — поверхность земного шара (эллипсоида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция (рис. 3.8я). Параллели в ней являются концентрическими окружностями, а меридианы — радиусами этих окружностей. В этой проекции всегда картографируют полярные области нашей и других планет.
4 - 4886
50 Глава III. Математическая основа карт
Классификация проекций по виду картографической сетки 51
![]() |
![]() |
![]() |
а |
Рис. 3.6. Цилиндрические проекции.
а — развертка нормальной цилиндрической проекции (проектирование на касательный цилиндр); б ■— нормальная цилиндрическая проекция на секущий цилиндр; в — косая цилиндрическая проекция на секущем цилиндре; г— поперечная цилиндрическая проекция на касательном цилиндре (особенно удобна для проектирования геодезических зон).
Рис. 3.7. Нормальная коническая проекция.
а — проекция на касательный конус и развертка; б — проекция на секущий конус и развертка.
Рис. 3.8. Азимутальные проекции.
а — нормальная или полярная проекция на плоскость; б — сетка в полярной проекции; в — сетка в поперечной (экваториальной) проекции; г — сетка в косой азимутальной проекции.
г
52 Глава III. Математическая основа карт
Классификация проекций по виду картографической сетки 53
![]() |
Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости экватора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная
проекция. Она всегда используется для карт полушарий (рис. 3.8#). А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция (рис. 3.8г).
Можно показать, что азимутальные проекции являются предельным случаем конических, когда угол при вершине конуса принимается равным 180°.
Среди азимутальных проекций выделяют несколько их разновидностей, различающихся по положению точки, из которой ведется проектирование шара на плоскость (рис. 3.9).
а б в
Название азимутальной проекции Гномон ическая Стереографическая Внешняя Ортографическая |
Положение точки проектирования относительно шара (эллипсоида)
В центре шара
На противоположном конце
диаметра
Плоскость проектирования |
За пределами тара на продолжении диаметра В бесконечности
Ортографическая |
Внешняя Стереографическая
Гномон ическая
Рис.3.9. Положение центра проектирования для азимутальных проекций.
Рис. ЗЛО.Вид сетки меридианов и параллелей в разных картографических проекциях.
а — цилиндрическая; б — коническая; в — азимутальная; г — псевдоцилиндрическая; д — псевдоконическая; е — поликоническая, ж — псевдоазимутальная.
Условные проекции — проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности, к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутиальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций. На рис. 3.10 приведены виды сеток описанных выше и некоторых условных проекций.
Псевдоцилиндрические проекции — проекции, в которых параллели — прямые линии (как и в нормальных цилиндрических проекциях), средний меридиан — перпендикулярная им прямая, а остальные меридианы — кривые, увеличивающие свою кривизну по мере удаления от среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяют для карт мира и Тихого океана.
Псевдоконические проекции — такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан — прямая линия, а остальные меридианы — кривые, причем кривизна их возрастает с
54 Глава III. Математическая основа карт
Классифыкацыя проекций по виду картографической сетки 55
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 3.11.Принцип построения поликонической проекции. а — положение конусом; б — полосы; в — развертка.
удалением от среднего меридиана. Применяются для карт России, Евразии, других материков.
Поликонические проекции — проекции, получаемые в результате проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы — кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана (рис. 3.11). Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.
Псевдоазимутальные проекции — видоизмененные азимутальные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях параллели представляют собой концентрические окружности, а меридианы — кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов. Поперечные и косые псевдоазимутальные проекции имеют общую овальную форму и обычно применяются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым.
Многогранные проекции — проекции, получаемые путем проектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника (рис. 3.12). Чаще всего каждая грань пред-
Рис. 3.12.Схема многогранной проекции и расположение листов карт.
ставляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольник, квадрат, ромб). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Рамка каждого листа, составленного в многогранной проекции, представляет собой трапецию, образованную линиями меридианов и параллелей. За это приходится «расплачиваться» — блок листов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.
Надо отметить, что в наши дни для получения картографических проекций не пользуются вспомогательными поверхностями. Никто не помещает шар в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрические аналогии, позволяющие понять геометрическую суть проекции. Изыскание проекций выполняют аналитически. Компьютерное моделирование позволяет достаточно быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, автоматические графопостроители легко вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей, а при необходимости — и карту изокол.
Существуют специальные атласы проекций, позволяющие подобрать нужную проекцию для любой территории. В последнее время созданы электронные атласы проекций, с помощью которых легко отыскать подходящую сетку, сразу оценить ее свойства, а при необходимости провести в интерактивном режиме те или иные модификации или преобразования.
Глава III. Математическая основа карт
Выбор проекций
![]() |
40 «О W ЮО 120 I40JM |
20 0 20 40 60 JO IO0 IM NO W) |
Выбор проекций
На выбор проекций влияет много факторов, которые можно сгруппировать следующим образом:
♦ географические особенности картографируемой территории, ее положение на земном шаре, размеры и конфигурация;
♦ назначение, масштаб и тематика карты, предполагаемый круг потребителей;
♦ условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по ней, требования к точности результатов измерений;
♦ особенности самой проекции — искажения длин, площадей, углов и их распределение по территории, форма меридианов и параллелей, их симметричность, изображение полюсов, кривизна линий кратчайшего расстояния.
Первые три группы факторов задаются изначально, четвертая — зависит от них. Например, указывается, что создается настенная карта России для средней школы — значит, территория расположена в средних широтах, масштаб карты не крупнее 1:4 000 000 — 1:5 000 000. измерения по ней проводиться не будут, но желательно не иметь значительных искажений форм и площадей. При отсутствии каких-либо дополнительных условий скорее всего будет избрана одна из равнопромежуточных конических проекций. Если же составляется карта, предназначенная для навигации, то обязательно должна быть использована равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора. Если картографируется Антарктида, то почти наверняка будет принята нормальная (полярная) азимутальная проекция и т. д.
Значимость названных факторов может быть различной: в одном случае на первое место ставят наглядность (например, для настенной школьной карты), в другом — особенности использования карты (навигация), в третьем — положение территории на земном шаре (полярная область). Возможны любые комбинации, а следовательно, и разные варианты проекций, тем более что выбор очень велик. Но все же можно указать некоторые предпочтительные и наиболее традиционные проекции.
Карты мира обычно составляют в цилиндрических, псевдоцилиндрических и поликонических проекциях (рис. 3.13). Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические проекции иногда дают с разрывами на океанах.
Рис. 3.13.Примеры проекций для карт мира.
а — цилиндрическая проекция Меркатора; б — псевдоцилиндрическая проекция Мольвейде.
44�1554444
58 Глава III Математическая основа карт
Выбор проекций
![]() |
Рис. 3.14.Проекции для карт полушарий.
а — поперечная азимутальная орфографическая проекция для восточного полушария; б — нормальная равпопромежуточная проекция Постеля для северного полушария.
Карты полушарий всегда строят в азимутальных проекциях. Для западного и восточного полушарий естественно брать поперечные (экваториальные), для северного и южного полушарий — нормальные (полярные) (рис. 3.14), а в других случаях (например, для материкового и океанического полушарий) — косые азимутальные проекции.
Карты материков: Европы, Азии, Северной и Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего строят в равновеликих косых азимутальных проекциях, для Африки берут поперечные, а для Антарктиды — нормальные азимутальные проекции.
Карты России в целом составляют чаще всего в нормальных конических равнопромежуточных проекциях с секущим конусом, но в некоторых особых случаях — в поликонических, произвольных и др. На рис. 3.15 показана наиболее часто употребляемая сетка конической проекции, которая, однако, в некоторых случаях оказывается не совсем удобной. Например, для карты начальной школы проекция должна быть построена так, чтобы самая северная точка России располагалась ближе всего к северной рамке, а Черное море находилось возле южной, а не западной рамки карты.
Карты отдельных стран, административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равнове-
Рис.3.15. Проекции для карт России и сопредельных государств.
/- нормальная равпопромежуточная проекция Каврайского; б - попереч--цилиндрическая проекция Соловьева. На обе сетки нанесены изоколы
но-площадей.
ликих конических или азимутальных проекциях, но многое зависит от конфигурации территории и ее положения на земном шаре. Для небольших районов задача выбора проекции теряет актуальность,
Глава III. Математическая основа карт
Распознавание проекций 61
Рис. 3.16. Проекции с разрывами.
а — разрывы изображения в пределах океана (для уменьшения искажений на материках); б — разрывы изображения в пределах материков (для сохранения равновеликости океанов).
можно использовать разные равноугольные проекции, имея в виду, что искажения площадей на малых территориях почти неощутимы.
Топографические карты в России создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса—Крюгера, а в США и многих других западных странах — в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UTM). Обе проекции близки по своим свойствам, и та и другая по существу являются многополосными.
Морские и аэронавигационные карты всегда даются в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов— в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях. Например, для совместного показа Атлантического и Северного Ледовитого океанов применяют особые проекции с овальными изоколами, а для изображения всего Мирового океана — равновеликие проекции с разрывами на материках. На рис. 3.16 представлены две сетки в разорванных проекциях. Одна имеет разрывы на океанах и предназначена для картографирования явлений, расположенных только на суше, а в другой разрывы сделаны на материках. Она выглядит непривычно и состоит как бы из трех лепестков: Тихий океан, Атлантический вместе с Северным Ледовитым и Индийский. Разрывы на материках даны для того, чтобы оставить без искажений площади океанов и проводить по ним измерения.
В любом случае при выборе проекции, в особенности для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем больше внимания приходится уделять «математическим» факторам выбора проекции, и наоборот — для малых территорий и крупных масштабов более существенными становятся географические факторы.
Распознавание проекций
Распознать проекцию, в которой составлена карта, — значит, установить ее название, определить принадлежность к тому или иному виду, классу. Это нужно для того, чтобы иметь представление о свойствах проекции, характере, распределении и величине искажений — словом, для того чтобы знать, как пользоваться картой, чего от нее можно ожидать.
9462 Глава III. Математическая основа карт
Координатные сетки
Некоторые нормальные проекции сразу распознаются по виду меридианов и параллелей. Например, легко узнаваемы нормальные цилиндрические, псевдоцилиндрические, конические, азимутальные проекции. Но даже опытный картограф не сразу распознает многие произвольные проекции, потребуются специальные измерения по карте, чтобы выявить их равноугольность, равновеликость или равнопромежуточность по одному из направлений. Для этого существуют особые приемы: сперва устанавливают форму рамки (прямоугольник, окружность, эллипс), определяют, как изображены полюсы, затем измеряют расстояния между соседними параллелями вдоль по меридиану, площади соседних клеток сетки, углы пересечения меридианов и параллелей, характер их кривизны и т.п.
Существуют специальные таблицы-определители проекций для карт мира, полушарий, материков и океанов. Проведя необходимые измерения по сетке, можно отыскать в такой таблице название проекции. Это даст представление о ее свойствах, позволит оценить возможности количественных определений по данной карте, выбрать соответствующую карту с изоколами для внесения поправок.
Координатные сетки
Координатные сетки — важный элемент математической основы карт. Они необходимы для ориентирования по карте, определения направлений (азимутов, румбов, дирекционных углов), прокладки маршрутов, нанесения элементов содержания, новых объектов по их координатам и снятия с карты координат объектов. Кроме того, наличие сетки позволяет судить о масштабе карты, виде проекции и распределении искажений в ней. Сетка делает карту картой, говорят даже, что «карта без сетки все равно что термометр без шкалы». На картах используют разные координатные сетки.
Картографическая сетка — это изображение на карте линий меридианов и параллелей {географической сетки), отражающих значения долгот, счет которых ведется от начального Гринвичского меридиана, и широт, которые отсчитываются от экватора (рис. 3.17). Картографическая сетка имеет важный географический смысл, она показывает направления «север — юг» и «запад — восток», позволяет судить о широтных поясах, о расположении объектов относительно стран света. От северного направления меридиа-
Плоскость начального меридиана
Рис. 3.17. Широта (ср) и долгота (К) точки А на глобусе и сетка параллелей и меридианов на карте.
на по часовой стрелке отсчитываются географические азимуты, а разность долгот двух пунктов выражает разность их времени. На картах линии географической сетки наносят обычно через равные интервалы: несколько десятков градусов, несколько градусов, минут и даже секунд — все зависит от масштаба и назначения карты.
Сетка прямоугольных координат (прямоугольная сетка) — стандартная система взаимно перпендикулярных линий, проведенных через равные расстояния, например через определенное число километров (отсюда название километровая сетка, или сетка километровых квадратов). Обычно эта сетка наносится на топографические карты и планы, ее вертикальные линии идут параллельно осевому меридиану геодезической зоны (ось абсцисс), а горизонтальные — параллельно экватору (ось ординат); они оцифрованы через километр, а километровая рамка карты имеет более дробные деления (рис. 3.18). Такая сетка удобна для геодезических вычислений: определения прямоугольных координат, расстояний, дирекционных углов и т.п.
Сетка-указателъница — любая сетка на карте, предназначенная для указания местоположения и поиска объектов. Ячейки такой сетки обозначаются буквами и цифрами (допустим, В-3), и
64 Глава III. Математическая основа карт
Разграфка, номенклатура и рамки карты
![]() |
![]() |
II | III | IV | V | VI | |
XII | |||||
XX | |||||
ххх\л | |||||
31° 32° 33° 34° 35° | |
36° 00' |
56° -00' 55° 20' 54° 40" 54° 00' 53° 20' 52° 40' _52° 00* |
52° 00'' |
36° 00' |
1:200 000 N-36-XX |
36° 00' |
30° 00' |
Рис. 3.18.Изображение геодезической зоны с координатными линиями и сетка прямоугольных координат (километровая сетка) на топографической карте.
это удобно, например, для отыскания населенных пунктов по их названиям, содержащимся в алфавитном географическом указателе. Обычно сетки-указательницы наносятся на карты атласов, а в конце приводится список названий всех объектов, помещенных в атласе.
Можно встретить и иные координатные сетки. На старинных морских картах — портоланах изображалась сетка компасных линий, на некоторых французских картах до сих пор дается сетка градов (окружность составляет 400 градов, а каждый град содержит 100 градовых минут). Некоторые страны используют собственные системы прямоугольных координат и соответственно — свои координатные сетки.