Энергия и мощность в цепи синусоидального тока
СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
 |
К цепи подведено напряжение 
.
По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:
Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:
Построим векторную диаграмму для этой схемы
 |
Из векторной диаграммы (D 0АВ):
;
Отсюда: 
- закон Ома для цепи переменного тока.
- полное сопротивление цепи.
Если сопротивлений много, то 
.
Аналогично можно записать из исходного уравнения:
,
где 
- реактивное сопротивление цепи.
D 0АВ - треугольник напряжений:
Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:
Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:
.
Активные, реактивные и полные проводимости цепи
- комплексная проводимость цепи.
,
где 
- активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).
- реактивная проводимость цепи.
При X=XL - XC > 0 B > 0,
а при X=XL - XC < 0 B < 0.
С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:
,
где Ia - активная составляющая тока I;
Ip - реактивная составляющая тока I.
Векторная диаграмма имеет вид:
Треугольник проводимостей:
.
Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока
1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю. Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.
Для действующих значений: 
;
для мгновенных значений : 
.
2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:
.
Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:
.
Энергия и мощность в цепи синусоидального тока
с идеальными R,L,C элементами
В цепи постоянного тока мощность определялась выражением 
.
Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R,L,C элементов.
 |
Запишем подведенное напряжение: 
и ток 
.
. При yi=0 yu=j.
Если XL >XC , то j > 0 и наоборот.
Для мгновенных значений справедливо выражение:
.
Отдельно здесь запишем: 
.
.
Результат: 
- это выражение для мгновенной мощности.
Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:
.
Но 
, поэтому 
.
- коэффициент мощности.
Из треугольника напряжений 
, поэтому
активная мощность.
Таким образом, среднюю мощность за период называют активной мощностью.
Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.
.
Построим график этой функции:
Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:
- это энергия тепловая.
Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.
.
Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:
За период мощность дважды меняет знак. Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.
Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:
- это выражение для энергии магнитного поля.
Здесь мы сделали замену пределов интеграла:
при t=0 i=0;при t=T/4 i=Im.
Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине. В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.
При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.
Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.
Из общего выражения для мгновенной мощности:
. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами
 |
- это энергия электрического поля.
Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.
В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.