ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ. Физическая величина или закон Формула Закон Кулона (для точечных

Физическая величина или закон	Формула
Закон Кулона (для точечных зарядов)
Напряженность электрического поля	E=F/q, где Е – напряженность электрического поля, F – сила, действующая на заряд q, помещенный в данное поле
Напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого точечным зарядом	, где– q – заряд, создающий поле, r – расстояние от заряда до заданной точки, электрическая постоянная, диэлектрическая проницаемость среды
Линейная плотность заряда	τ = q/l, τ = dq/dl, где τ – линейная плотность заряда, q – заряд, l – расстояние между зарядами
Поверхностная плотность заряда	σ=q/S, σ=dq/dS где σ – поверхностная плотность заряда, q – заряд, S – площадь поверхности
Объемная плотность заряда	ρ = q/V, ρ = dq/dV где ρ – объемная плотность заряда, q – заряд, V – некоторый объем
Поток вектора напряженности электрического поля	где dS – элемент площади поверхности, через которую определяется поток, α – угол между нормалью к данной поверхности и вектором
Теорема Гаусса
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью
Напряженность Поля внутри конденсатора
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром (нитью)
Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2	А12 = q (φ1-φ2), где А12 – работа сил по перемещению заряда, q – заряд, φ - потенциал
Электроемкость проводника	C=q/φ, где С – электроемкость проводника, q – заряд, φ - потенциал
Электроемкость плоского конденсатора	C = S/d, С=q/U, где C – электроемкость плоского конденсатора, электрическая постоянная, S – площадь конденсатора, d – расстояние между пластинами конденсатора, U – разность потенциалов, диэлектрическая проницаемость среды
Электроемкость батареи конденсаторов при последовательном соединении
Электроемкость батареи конденсаторов при параллельном соединении
Энергия заряженного конденсатора	W = qU/2, W=CU2/2, W=q2/(2C), где q – заряд конденсатора, U – разность потенциалов между обкладками, C – электроемкость конденсатора
Сила постоянного тока	I =q/t, I =dq/dt где I – сила тока, q – заряд, t - время
Плотность тока	j= I /S, где j – плотность тока, I – сила тока, S – площадь поперечного сечения проводника
Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС	, где I - сила тока, потенциал, U - напряжение, R - сопротивление
Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС
Закон Ома для замкнутой (полной) цепи	, где I – сила тока, э.д.с., R – сопротивление, r – внутреннее сопротивление источника тока
Первый закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа	где Ii Ri – падение напряжения в замкнутом контуре, - ЭДС в данном контуре
Сопротивление проводников при последовательном соединении
Сопротивление проводников при параллельном соединении
Мощность тока	Р= IU, P = I 2R, P=U 2/R, где Р – мощность тока, I – сила тока, R – сопротивление, U - напряжение
Закон Джоуля-Ленца	dQ = I 2Rdt=IUdt, где dQ – тепло, выделяемое при нагревании проводника, I – сила тока, R – сопротивление, t – время, U - напряжение
Закон Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме	j=γE, ω= γE2 где j – плотность тока, γ – удельная электрическая проводимость, Е - напряженность электрического поля, ω – объемная плотность мощности
Связь магнитной индукции Вс напряженностью Н магнитного поля	B=mm0H, где В – магнитная индукция, Н – напряженность магнитного поля, μ – магнитная проницаемость среды, µ0 – магнитная постоянная
Закон Био-Савара-Лапласа	где индукция поля, µ - магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, I – сила тока, вектор, равный по модулю длине проводника, – радиус-вектор, проведенный из проводника в точку поля, α – угол между векторами
Магнитная индукция прямого бесконечно длинного проводника с током	где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, I – сила тока, r0 – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется индукция магнитного поля
Магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током	где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, I – сила тока, R – радиус проводника
Магнитная индукция поля внутри соленоида	где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, I – сила тока, N – количество витков, l – длина соленоида
Энергия магнитного поля соленоида	где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, I – сила тока, N – количество витков, l – длина соленоида, S – площадка, через которую проходит магнитный поток, В – магнитная индукция, V – объем соленоида, Н – напряженность магнитного поля
Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера)	F = I B l sin α, , где F – сила, I – сила тока, В – магнитная индукция, l – длина провода, α – угол между векторами
Магнитный момент плоского контура с током	, где I – сила тока, S – площадь контура, нормальный вектор
Сила Лоренца	F = q υ B sin α, где q – заряд, υ – скорость заряда, В – магнитная индукция, α – угол между векторами
Магнитный поток в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности	Ф = B S cos α , Ф = Bn S, где Ф – магнитный поток, B - магнитная индукция, S – площадь поверхности, α – угол между векторами , Вn – проекция вектора на направление нормали к площадке S
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле	dA = IdФ, где A – работа по перемещению проводника, Ф – магнитный поток, I – сила тока
ЭДС индукции	, где ЭДС индукции, ψ – полный магнитный поток, t - время
ЭДС самоиндукции	, где ЭДС самоиндукции, L – индуктивность, I – сила тока, t - время
Индуктивность соленоида	L =V, где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, V – объем соленоида, n – плотность намотки
Экстратоки при замыкании и размыкании цепи	I0 – сила тока в начальный момент времени, R - активное сопротивление цепи, L - индуктивность
Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)	w = В2/(2 ), w = Н2/2, w = BН/2, где μ – магнитная проницаемость среды, μ0 – магнитная постоянная, B - магнитная индукция, Н – напряженность магнитного поля
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике	где вектор электрического смещения, s – произвольная замкнутая поверхность, Dn – проекция вектора на нормаль к площадке s, алгебраическая сумма свободных зарядов, заключенных внутри данной замкнутой поверхности
Закон полного тока для магнитного поля	где вектор элементарной длины контура, ( угол между векторами ), вектор магнитной индукции, μ0 – магнитная постоянная, — алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром, n — число токов.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.Два точечных заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии l = 50 см друг от друга. Третий заряд Q₁может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q₁, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q₁равновесие будет устойчивым?

Решение. Заряд Q₁находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд Q₁дол­жны действовать две силы, равные по модулю и проти­воположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (Рис. 4) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q₁— положительный.

Рис. 5.

На участке I (рис. 5, а) на заряд Q₁будут дей­ствовать две противоположно направленные силы: и . Сила , действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы , действующей со стороны заряда

-Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Q_1, чем меньший (по модулю) заряд -Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 4, б) обе силы и направ­лены в одну сторону — к заряду -Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 4, в) силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший заряд -Q всегда нахо­дится ближе к заряду Q_1,чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.

= (1)

Пусть х и l+х — расстояние от меньшего и боль­шего зарядов до заряда Q_1.Выражая в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим

9Q Q₁(l + x)²= Q Q₁/x², или l + x = ± Зх, откуда

x₁ = + l/2,

x₂= - l/4.

Корень x₂не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы и хотя и равны по модулю, но сонаправлены).

Определим знак заряда Q₁, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равно­весия. Рассмотрим смещение заряда Q₁ в двух случаях: когда заряд положителен и когда отрицателен.

Если заряд Q₁положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают. Так как сила воз­растает медленнее, то результирующая сила, действую­щая на заряд Q₁, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q₁ будет удаляться от положения равно­весия. То же происходит и при смещении заряда Q₁вправо. Сила убывает быстрее, чем . Геометриче­ская сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд Q₁отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила возрастает медленнее, чем , т. е. | |>| |. Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Q₁ возвращается к положению равновесия. При смещении Q₁ вправо сила убывает быстрее, чем , т. е. | |>| |. результирующая сила направлена влево и заряд Q₁ опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q₁несущественна.

Рис. 6.

Задача 2. Три точечных заряда Q₁ = Q₂ = Q₃ = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равно­весии?

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует по­местить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q_1,находился и равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если век­торная сумма действующих на него сил равна нулевому вектору (Рис. 6):

(1)
где , , — силы, с которыми соответственно дей­ствуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q_3, Q₄; равнодей­ствующая сил и

Так как силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F - F₄ = 0, откуда F₄ = F. Выразив в последнем равенстве F через F₂, F₃ и учиты­вая, что F₃ = F₂, получим

F₄ = F₂ .

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₂ = Q₃ = Q₁, найдем

откуда Q₄= (2)

Из геометрических построений в равностороннем тре­угольнике следует, что

, cos α=cos 60°=l/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

Q₄ = Q₁ .

Произведем вычисления:

Q₄ = 10^-9 / Кл = 5,77·10^-10 Кл = 577 пКл.

Задача 3. На тонком стержне длиной l = 20 см нахо­дится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q₁ = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с си­лой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q₁зависит от линейной плотности τ заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

Рис. 7

При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точеч­ным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (Рис. 7) малый участок dr с зарядом dQ = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

d F =

Интегрируя это выражение в пределах от a до a + l, получаем

F =

откуда

Проверим, дает ли рас­четная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подста­вим их единицы:

Найденная единица является единицей линейной плот­ности заряда.

Произведем вычисления:

Задача 4. Два точечных электрических заряда Q₁ = 1 нКл и Q₂= - 2 нКл находятся в воздухе на рас­стоянии d = 10 см друг от друга. Определить напря­женность и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Q₁на расстоя­ние r₁= 9 см и от заряда Q₂ на r₂ = 7 см.

Решение. Согласно принципу суперпозиции элек­трических полей, поле, созданное зарядом, не зависит от присутствия других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электриче­ского поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q₁ и Q₂, складываются.

Вектор (Рис. 8.) направлен по силовой линии от заряда Q₁, так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂ так как этот заряд отрицателен.

Рис. 8.

Модули векторов и находим по формулам

, (1)

. (2)

Модуль результирующего вектора найдем по теореме косинусов:

Е = (3)

где α - угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂и d: cos α = . В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:

cos α =

Подставляя выражение Е₁ из (1) и Е₂ из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4 ) за знак корня, получаем

Е = (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электриче­ских полей потенциал φ результирующего поля, созда­ваемого двумя зарядами Q₁ и Q₂, равен алгебраической сумме потенциалов;

(5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в ва­кууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выра­жается формулой

. (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

+ ,

Произведем вычисления:

=3,58·10³ В/м = 3,58 кВ/м;

=-157 В.

Рис. 9

Задача 5. По тон­кому кольцу равно­мерно распределен за­ряд Q = 40 нКл с ли­нейной плотностью τ = 50 нКл/м. Опреде­лить напряженность электрического поля, создаваемого этим за­рядом в точке А, лежа­щей на оси кольца и удаленной от его цен­тра на расстояние, рав­ное половине радиуса.

Решение. Сов­местим координатную плоскость хoу с плоскостью кольца, а ось oz - с осью кольца (Рис. 9). На кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд dQ = τ dl, находящийся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность d электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде

,

где r— радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке А.

Разложим вектор d на две составляющие: d ₁, пер­пендикулярно плоскости кольца (сонаправленную с осью Oz), и d ₂, параллельную плоскости кольца (плос­кости хoу), т. е.

Напряженность Е электрического поля в точке А найдем интегрированием

,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженно­го кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов (dQ = dQ'), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и в точке А равны по модулю и противоположны по направлению: .Поэтому векторная сумма (интеграл) .

Составляющие для всех элементов кольца сонаправлены с осью oz (единичным вектором , определяющим направление оси Z), т.е. . Тогда

_.

Так как dE = , r = = = и cos α = (R/2 )/r = l/ , то

dE₁ = = .

Таким образом

.

Из соотношения Q = 2πRτ определим радиус кольца: R = Q/(2πτ). Тогда

.

Модуль напряженности . (1)

Проверим, дает ли правая часть полученного равен­ства единицу напряженности (В/м):

Выразим физические величины, входящие в форму­лу (1), в единицах СИ ( ) и произведем вычисления:

Е = В/м = 7,94 кВ/м.

Задача 6.Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды Q₁ = 1 нКл и Q₂ = -0,5 нКл. Найти напряжен­ность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на рас­стояниях r₁= 5 см, r₂ = 9 см, r₃ = 15 см ). Построить график Е(r).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (Рис. 10): обла­сти I (r₁<R₁ ),области II (R₁<r₂ < R₂), области III (r_з> R₂).

1. Для определения на­пряженности Е₁ в области I проведем гауссову повер­хность S₁ радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса:

dS = 0

Рис. 10.

(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссо­вой поверхности, равен нулю). Из соображений симметрии E_n = Е₁ = const.

Следовательно, Е₁ dS = 0 и Е₁(напря­женность поля в области I) во всех точках, удовлетворяю­щих условию r₁<R₁, будет равна нулю.

2. В области II проведем гауссову поверхность радиусом r₂. В этом случае диэлектрическую проницаемость ε среды будем считать равной единице (вакуум).

E_ndS = Q₁/ε₀ ,

(так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q₁).

Так как E_n = E = const, то E можно вынести за знак интеграла:

E dS = Q₁/ ε₀ , или E S₂ = Q₁/ ε₀.

Обозначив напряженность E для области II через E₂ получим

E₂ = Q₁/ (ε₀S₂),

где S₂ = 4 — площадь гауссовой поверхности. Тогда

E₂ = . (1)

3. В области III гауссова поверхность проводится ра­диусом r₃. Обозначим напряженность Е области III через E₃и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охва­тывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд бу­дет равен Q₁+ Q₂. Тогда

E₃ = . (2)

Убедимся в том, что правая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряженности:

Выразим все величины в единицах СИ (Q₁ = 10 ^-9 Кл, Q₂= - 0,5 · 10 ^-9 Кл,

r₁ = 0,09 м, r₂ = 0,15 м, 1 /(4 ) = 9·10⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

E₂ = 9·10⁹ В/м =1,11кВ/м;

E₃ = 9·10⁹ В/м = 200 В/м.

Построим график E (r). В области I(r₁<R₁) E = 0. В области II (R₁≤ r<R₂) E₂(r) изменяется по закону 1/r². В точке r = R₁ E₂(R₁) = Q₁/ (4 ) = 2,5 кВ/м.

В точке r = R₂ (r стремится к R₂ слева) Е₂(R₂) = Q₁/ ( ) = 0,9 кВ/м. В области III (r < R₂) E₃(r) изменяется по закону 1/r², причем в точке r = R₂

(r стре­мится к R₂ справа)

Е₃(R₂) = (Q₁- /( ) = 0,45 кВ/м. Таким образом, функция E (r) в точках r = R₁ и r = R₂ терпит разрыв.

Рис. 11.

График зависимости Е от r, представлен на рис. 11.

Задача 7.На пластинах плоского конденсатора на­ходится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пласти­ны конденсатора равна 100 см², диэлектрик -воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пла­стины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

F = Q E (1)

Так как напряженность поля, созданного пластиной определяется по формуле

E =σ/(2 ε₀)=Q/(2 ε₀S),

где σ — поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

F = Q²/(2 ε₀ S).

Произведем вычисления:

F = Н =5,65·10^-4 Н = 565 мкН.

Задача 8.Электрическое поле создано длинным ци­линдром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а₁ = 0,5 см и а₂= 2 см от поверхности ци­линдра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью по­ля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

E = , или dφ = - Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потен­циалов двух точек, отстоящих на расстояниях r₁и r₂от оси цилиндра:

. ( 1 )

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

Е = τ / (2π ε₀r).

Подставив выражение Е в(1), получим

ln ,

или

ln .

Произведем вычисления, учитывая, что величины r₁и r₂входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах

r₁ = R + a₁ = 1,5 см,

r₂ = R + а₂ = 3 см.

2·10^-8·1,8·10¹⁰ ln (3/1,5) = 3,6·10²·2,3 ln 2 = 250 В.

Задача 9.Определить ускоряющую разность потен­циалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ_о= 10⁶ м/с, что­бы скорость его возросла n = 2 раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатиче­ского поля. Эта работа определяется произведением эле­ментарного заряда е на разность потенциалов U:

A = eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном слу­чае равна изменению кинетической энергии электрона:

A =T₂ – T₁ = , (2)