КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
101. Две материальные точки движутся вдоль оси ОХ согласно уравнениям х1 = 10 + 4t – 0,5t2, м и х2 = 3 - 2t + t2, м.
1. В какой момент времени t1 скорости этих точек будут одинаковы?
2. Какой путь прошла вторая точка за это время?
102. Зависимость пути, пройденного точкой по окружности радиуса R = 2,0 м, от времени выражено уравнением l = t + 3t2, м.
1. Найдите полное ускорение точки через t = 1,0 с после начала движения.
2. Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в этот момент времени? Решение поясните рисунком.
103. Наклонная плоскость, образующая угол = 30º с горизонтом, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с вершины плоскости к её основанию за время t = 2 с.
1. Определите коэффициент трения тела о плоскость.
2. Какую скорость будет иметь тело у основания плоскости?
104. Зависимость координаты от времени тела массой m=5 кг при торможении выражена уравнением x = 12t - 1,6t2.
1. Найдите путь, пройденный телом до полной остановки
2. Как зависит сила, действующая при этом на тело от времени? Чему равна эта сила через t = 2с после начала торможения?
105. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 45°. Зависимость пройденного телом пути l от времени t дается уравнением l = ct2, где c = 1,73 м/с2.
1. Найти коэффициент трения µ тела о плоскость.
2. Чему будет равна скорость тела к моменту времени, когда оно пройдёт расстояние l = 10 м?
106. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 40 м. Зависимость пути от времени движения точки определяется уравнением l = 8 – t + 4t2 + 1 t3.
1. Чему равна величина линейной скорости точки в момент времени t = 4 с после начала движения?
2. Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в момент времени t = 4 с после начала движения? Решение поясните рисунком.
107. Точка начинает двигаться по окружности R = 16,0 м. с тангенциальным ускорением aʈ = 10 м/с2.
1. Чему равно полное ускорение точки через три секунды t = 2 c после начала движения. Решение поясните рисунком.
2. Чему равна величина угловой скорости и углового ускорения при этом движении в этот момент времени?
108. Тело, имеющее постоянную массу, начинает тормозить. Путь при торможении изменяется с течением времени согласно уравнению l = 196t - t3. В момент остановки сила торможения достигла значения Fост = 48 Н.
1. Определите, какой путь l прошло тело от начала торможения до полной остановки.
2. Чему равна сила торможения через t = 3 мин после начала торможения?
109. Точка движется по окружности радиуса R = 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно an = 4 м/с2 и образует с вектором полного ускорения угол α = 60°.
1. Чему равна скорость точки в этот момент времени?
2. Найдите величину тангенциального ускорения в этот момент времени. Решение поясните рисунком.
110. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причём зависимость координаты х от времени даётся уравнением х = А – Вt + Сt2 , где С = 5 м/с2 и В = 10 м/с2.
1. Определите результирующую силу, действующую на тело во время движения.
2. В какой момент тело остановится, и какой путь оно пройдёт до остановки?
111. Каток в виде однородного цилиндра массой m = 2,0 кг катится по горизонтальной поверхности под действием силы F = 10 Н, приложенной к его оси. Сила направлена перпендикулярно оси катка и составляет с горизонтом угол α = 30°.
1. Определите ускорение, с которым перемещается ось катка.
2. Чему равен момент этой действующей силы относительно оси, проходящей через точки касания катка дороги в некоторый момент времени? Покажите на рисунке направление этого момента силы.
112. Две гири разной массы соединены нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через блок радиуса R = 20 см, момент инерции которого равен J = 50 кг ˑ м2. Момент силы трения, действующей на блок, равен Мтр = 98,1 Н ˑ м.
1. Определите разность силы трения, действующей на блок по обе стороны блока (Т1 – Т2), если угловое ускорение блока постоянно и равно ε = 2,36 рад/с2.
2. На какое расстояние l переместиться каждая гиря за время t = 1,0 c?
113. Тонкий стержень длиной l = 0,5 м и массой m = 400 г начимнает вращаться вокруг оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно его длине, с угловым ускорение ε = 3 рад/с2.
1. Определите момент силы, действующей на тело. На рисунке покажите направление этого момента.
2. Сколько оборотов сделает стержень за первые три секунды вращения?
114. Диск, момент инерции которого J = 40 кг ˑ м2, начинает вращаться равноускоренно под действием момента силы М = 20 Н ˑ м
1. какой момент импульса будет иметь тело через t = 10 c вращения? На рисунке покажите направление этого момента импульса.
2. Сколько полных оборотов сделает диск за этот промежуток времени?
115. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило частоту вращения от n1 = 300 об/мин до n2 =180 об/мин за время t = 1 мин. Момент инерции колеса J = 2 кг-м2
1. Определите угловое ускорение колеса и покажите на рисунке как оно направлено.
2. Как направлен момент сил торможения и чему он равен?
116. Шар массой m = 2 кг и радиусом R = 5 см вращается вокруг оси, проходящей через центр масс шара, согласно уравнению φ = 3t2 + t
1. Сколько оборотов сделает шар за время t = 10 c?
2. Определите момент импульса шара через две минуты после начала движения и покажите на рисунке направления векторов момента импульса и углового ускорения.
117. На барабан радиусом R = 25 см, момент инерции которого J = 1 кг-м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала движения высота груза над полом была равна h = 1,0 м.
1. Определите момент импульса L барабана в момент удара груза о пол. На рисунке покажите направление этого момента импульса.
2. Определите силу натяжения нити Т при движении груза.
118. Тонкостенный цилиндр, масса которого m = 12 кг, а диаметр основания D = 30 см, вращается согласно уравнению φ = 4 + 2t – 0,2t3.
1. Определите угловое ускорение диска в момент времени t = 2,0 c. Покажите на рисунке как оно направлено.
2. Чему равен момент сил, действующий на тело, в момент времени t = 3,0 c? На рисунке покажите направление этого момента.
119. На обод маховика диаметром D = 30 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2,0 кг.
1. Определите момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно за время t = 3,0 c, приобрёл угловую скорость = 9 рад/с.
2. На какую высоту h при этом опустился груз?
120. Блок, массу m = 2,0 кг которого считать равномерно распределённой по ободу, вращается с частотой n = 12 об/с. Диаметр блока D = 30 см.
1. Определите, какой момент сил надо приложить к блоку, чтобы он, двигаясь равнозамедленно, остановился в течение ∆t = 8,0 с. На рисунке покажите направление этого момента сил.
2. Сколько оборотов он сделает до остановки?
121. По небольшому куску мягкого железа, лежащего на наковальне массой М = 300 кг, ударяет молот массой m = 8,0 кг.
1. Определите КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию.
2. Какую энергию будет иметь боек перед ударом, если при размахе он был поднят на высоту h1 = 2 м?
122. Боек массой М = 0,5 т падает на сваю массой m = 120 кг с высоты h1 = 5 м.
1. Определите КПД неупругого удара. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.
2. Найдите среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину h2 = 4,0 см.
123. Сплошной цилиндр массой m = 8,0 кг скатывается без трения с наклонной плоскости высотой h = 0,5 м, составляющей угол α = 30° с горизонтом. Начальная скорость цилиндра равна нулю.
1. Определите скорость поступательного движения цилиндра у основания плоскости.
2. За какое время цилиндр скатится с наклонной плоскости?
124. По горизонтальной плоской поверхности движется шар массой m = 1,0 кг со скоростью ʋ1 = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m = 2,0 кг, который движется навстречу ему со скоростью ʋ2 = 3 м/с.
1. Найдите скорости u1 и u2 шаров после удара. Удар считать центральным, абсолютно упругим.
2. Определите коэффициент сопротивления, если второй шар, педосталенный сам себе после удара, остановится, пройдя путь l = 1,8 м.
125. Стальной шарик массой m = 10 г упал с высоты h1 = 1,0 м на стальную плиту и подскочил после удара на высоту h2 = 0,8 м.
1. Определите изменение импульса ∆ шарика при ударе. На рисунке покажите направление вектора ∆
2. Какое количество теплоты выделиться при ударе?
126. Цилиндр массой m = 1,0 кг движется без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью ʋ = 14 м/с.
1. Через какое время цилиндр остановится, если на него действует сила трения F = 50 Н?
2. Какую работу совершит при этом сила трения?
127. Стержень длиной l = 1 м и массой М = 7,0 кг может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. В другой его конец попадает пуля массой m = 0,01 кг, летящая со скоростью ʋ = 500 м/с перпендикулярно оси и стержню, и застревает в нём.
1. Чему равна угловая скорость движения стержня с пулей сразу после застревания в нём пули?
2. На какой максимальный угол отклониться стержень с пулей после удара?
128. Горизонтально летящая пуля массой m = 10 г со скоростью ʋ1 = 400 м/с попадает в деревянный куб массой М = 0,050 кг, лежащий на горизонтальной поверхности, и пробивает его. Скорость пули при вылете из куба равна ʋ2 = 100 м/с.
1. Найдите, какая часть энергии пули перешла в тепло, если траектория движения пули проходит через центр куба.
2. Чему равен коэффициент трения между кубом и поверхностью, если после удара куб пройдёт до остановки l = 0,5 м?
129. Шар массой m = 1,0 кг и радиусом R = 3 см катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания, ударяется о стенку и отскакивает от неё со скоростью ʋ = 8 см/с. Скорость шара до удара равна ʋ = 10 см/с.
1. Найдите импульс силы, действующей на стенку во время удара, по модулю и направлению.
2. Какое количество теплоты выделиться при ударе?
130. Маховик вращается с частотой n =10 об/с, при этом его кинетическая энергия равна Wk = 7,85 кДж.
1. За какое время вращающий момент М = 50 Н ˑ м, действующий на маховик, увеличит его скорость в два раза?
2. Какую работу должны совершить силы торможения, чтобы остановить диск, вращающийся с частотой n?
131. Какую температуру Т имеет масса m = 2 г азота, занимающего объём V = 820 см3, при давлении р = 0,2 МПа?
1. Сколько молекул газа находится в сосуде?
2. Какую среднюю квадратичную скорость имеют молекулы этого газа?
3. Чему равна молярная теплоёмкость этого газа при изохорическом процессе?
132. Какой объем V занимает кислород массой m = 10 г при давлении р = 100 кПа и температуре t = 20ºС?
1. Сколько молей газа находится в сосуде?
2. Сравните энергию поступательного и вращательного движения одной молекулы этого газа.
3. Какова средняя арифметическая скорость движения молекул газа?
133. Баллон объёмом V = 12 л наполнен азотом при давлении р = 8,1 МПа и температуре t = 17ºС.
1. какая масса m азота находится в баллоне?
2. Сколько молей азота помещено в сосуд? Какова плотность газа в этом сосуде?
3. Чему равна поступательная энергия газа всех молекул?
134. В баллоне объёмом V находится газ под давлением р1 = 10 МПа.
1. Какое количество газа надо взять из баллона, если давление стало равным р2 = 2,5 МПа? Температуру газа читать постоянной и равной t = 27ºС.
135. В баллоне объёмом V = 10 м3 при давлении p = 96 кПа и температуре t = 17 ºC находится газ.
1. Какое количество газа ν находится в баллоне?
2. Чему равна энергия поступательного и вращательного движения всех молекул этого газа, если газ является трёхатомным?
3. Какое значение имеет коэффициент Пуассона для этого газа?
136. Некоторый газ при температуре t = 10 ºC и давлении p = 200 кПа имеет плотность ρ = 0,34 кг/м3.
1. Найдите молярную массу М газа.
2. Какова концентрация газа при этих условиях?
3. С какой средней арифметической скоростью движутся молекулы газа?
137. В сосуде объёмом V = 4 л находится масса m = 1 г водорода.
1. Какое число молекул n содержит единица объёма сосуда?
2. Каково давление газа в сосуде, если температура системы Т = 273 К?
3. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул?
138. В сосуде объёмом V = 2 л находится масса m = 10 г кислорода при давлении p = 90,6 кПа.
1. Найдите среднюю квадратичную скорость <ʋкв> молекул газа.
2. Какое число молекул N газа находится в сосуде?
3. Чему равна плотность газа ρ при этих условиях?
139. Плотность некоторого газа равна ρ = 0,06 кг/м3, а средняя квадратичная скорость его молекул <ʋкв> = 500 м/с.
1. Найдите давление p, которое газ оказывает на стенки сосуда.
2. Определите концентрацию газа n.
3. Чему равна энергия теплового движения молекул, находящихся в единице объёма сосуда, если газ является 2-атомным?
140. Двухатомный газ находится в сосуде объёмом V = 10 см3 при давлении p = 5,3 кПа и температуре t = 27 ºC.
1. Какое число N молекул находится в этом сосуде?
2. Какой энергией теплового движения U обладают эти молекулы?
3. Чему равна молярная теплоемкость этого газа при изобарическом процессе?
141. Два моля двухатомного идеального газа сжимаются один раз изотермически, а второй раз адиабатически. Начальные параметры газа в обоих случаях одинаковы. Постройте графики этих процессов в координатах р – V. Покажите работы при этих процессах на графике.
142. При изобарном нагревании газа на ∆Т1 = 100 К газа требуется Q12 = 4,2 кДж теплоты, а при изохорном охлаждении газ отдаёт Q23 = 5,04 кДж теплоты при уменьшении давления в два раза. Начальная температура газа при изохорном охлаждении Т2 = 400К. Постройте графики этих процессов координатах р – V.
1. Определите коэффициент Пуассона для этого газа
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
143. При изотермическом расширении ν = 0,4 моля водорода было подведено Q = 800 Дж теплоты. Температура водорода Т = 300 К. После изотермического расширения газ изобарически сжали до первоначального объёма. Постройте график этого процесса в координатах р – V.
1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
144. Двуокись углерода массой m = 4,4 кг при давлении p1 = 2ˑ105 Па адиабатически сжали до некоторого давления p2, при этом, его внутренняя энергия изменилась на ∆U = 108 Дж. После сжатия газ изобарически расширился до начального объёма. Постройте график этого процесса в координатах p – V.
1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
145. При изохорном нагревании на ∆Т = 10 К газа массой m = 20 г требуется Q1 = 630 Дж теплоты, а при изобарном процессе Q2 = 1050 Дж.
1. Определите молярную массу газа.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом, если начальная температура Т1 = 300К.
146. Десять молей двуокиси углерода (СО2), находящейся при температуре Т = 300 К и давлении р1 = 2ˑ105 Па были адиабатически сжаты до некоторого давления p2,при этом объём уменьшился в два раза. После сжатия газ расширился изобарически до первоначального объёма.
1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
147. Один моль двухатомного газа адиабатически расширяется так, что его давление уменьшается в 5 раз, а затем изотермически сжимается до первоначального давления. Начальная температура газа Т = 600 К. Постройте график этого процесса в координатах p – V.
1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
148. Десять молей двуокиси углерода (СО2), находящейся при температуре Т = 300 К и давлении р1 = 2ˑ105 Па были адиабатически сжаты до некоторого давления p2,при этом объём уменьшился в два раза. После сжатия газ изобарически охладился до первоначального давления.
1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
149. Двухатомный идеальный газ в количестве ν = 20 молей, имеющий давление р1 = 1ˑ105 Па и занимающий объём V1 = 1 м3, сжали изобарически до объёма в пять раз меньше первоначального, а затем изотермически газ расширился до первоначального объёма.
1. Определите суммарное количество теплоты, полученное и отданное газом при переходе из начального в конечное состояние.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
150. При изотермическом расширении 2 кг водорода, взятых при давлении р = 6ˑ105 Па и объёме V1 = 8,31 м3, была совершена работа А = 5,47 ˑ 106 Дж. После изотермического расширения газ был адиабатически сжат, причём была совершена по величине работа, что и при расширении.
1. Найдите изменение внутренней энергии газа при переходе из начального состояния в конечное.
2. Найдите изменение энтропии ∆S газа для каждого из изопроцессов и для всего процесса в целом.
151. Колебания материальной точки массой m = 0,1 г происходят согласно закону
x = Acosω0t, где A = 5 см, ω = 20 с-1. Определить период колебаний и максимальное значение возвращающей силы Fmax.
152. Материальная точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно xmax = 10 см, наибольшая скорость ʋmax = 20 см/с. Определить циклическую частоту колебаний ω и максимальное ускорение amax точки.
153. Колебания точки происходят по закону x = A cos (ω0t+φ0). В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость ʋ = 20 см/с и ускорение a = - 80 см/с2. Найти амплитуду A и период колебаний Т.
154. Начальная фаза гармонических колебаний равна нулю. При смещении точки от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки равна ʋх1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см скорость равна ʋх2 = 2 см/с. Найти амплитуду A и период колебаний Т.
155. материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид
х = 0,05 sin (2t + π/4) м. Определить период колебаний, а также момент времени (ближайший к началу отсчёта), в который потенциальная энергия точки равна Wp = 1ˑ10-4 Дж, а возвращающая сила F = 5ˑ10-3 H.
156. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos t, м. Определить величину силы F, действующей на материальную точку, для момента времени t = 0,5 с и полную энергию W точки.
157. Груз массой m = 500 г, подвешенный на пружине жесткостью k = 100Н/м, совершает гармонические колебания с энергией W = 1 Дж. Найти период колебаний, их амплитуду и максимальную скорость колебаний груза.
158. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = А1 sin ωt и y = A2 cos ωt , где А1 = 2 см, A2 = 1 см. Определить уравнение траектории точки, построить траекторию с соблюдением масштаба. Указать направление движения точки и пояснить свой ответ.
159. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями
х = А cos ωt , y = В cos ωt, где А = 2 см, В = 3 см. Найти уравнение траектории точки и построить траекторию с соблюдением масштаба. Указать направление движения точки и пояснить свой ответ.
160. Найти амплитуду А и начальную фазу φ гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями х1 = 0,02 sin (5πt + π/2) м, х2 = 0,03 sin (5πt + π/4) м. Построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить амплитуду и начальную фазу φ0 результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
161. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А1 cos ωt и
у = A2 cos ω ( t + ȶ), где А1 = 4 см, А2 = 8 см, ω = πˑс-1, ȶ = 1с. Найти уравнение траектории точки и построить траекторию с соблюдением масштаба, указав направление движения точки. Пояснить свой ответ.
162. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А1 sin ωt и
у = A2 sin ωt , где А1 = 1,5 см, А2 = 2,5 см. Найти уравнение траектории точки и построить траекторию с соблюдением масштаба, указав направление движения точки. Пояснить свой ответ.
163. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1,5 с и амплитудами А1 = А2 = 2 см. Начальные фазы колебаний φ1 = π/2
и φ2 = π/3. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания, записать его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
164. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями
х = А sin ωt , y = В sin ωt, где А = 3 см, В = 4 см. Найти уравнение траектории точки и построить траекторию с соблюдением масштаба. Указать направление движения точки и пояснить свой ответ.
165. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: х = А1 sin ωt и
у = A2 cos ωt , где А1 = 1 см, А2 = 2 см, ω = 1ˑс-1. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания, записать его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
166. складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: х = 1ˑcos (ω t + π/3) см и у = 2ˑcos (ω t + π/6) см. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания, записать его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
167. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания, которое возникает при сложении двух колебаний одинакового направления с одинаковыми периодами: х1 = А1 sin ωt и х2 = A2 sin ω (t + ȶ), где А1 = А2 = 1 см, ω = πˑс-1, ȶ = 0,5с. Написать уравнение результирующего движения. Построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
168. Однородный диск радиусом R=20 м колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l= 15 см от центра диска. Определите период колебания диска.
169. Определите период колебания стержня длиной l= 30 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.
170. определите частоту гармонических колебаний диска радиусом R=20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.