Представим в виде таблицы

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
КИНЕМАТИКА Равномерное движение
Путь , м Скорость , м/с Ускорение , м/с2	Угловой путь , рад Угловая скорость , рад/с Угловое ускорение , рад/с2
Равнопеременное движение
Произвольное движение
Тангенциальное ускорение Нормальное ускорение – радиус кривизны траектории Полное ускорение		– радиус окружности
ДИНАМИКА Основные величины
Масса тела , кг     Сила , н Сила тяжести Ускорение свободного падения , м/с2 Сила упругости , – коэффициент жесткости – величина деформации Сила трения , – коэффициент трения – сила реакции опоры	Момент инерции , кг·м2 Для некоторых тел относительно оси симметрии Тонкий стержень длины Сплошной диск (цилиндр) Шар   Момент силы , н·м , – плечо силы – расстояние от оси до линии действия силы

Продолжение таблицы 1

Импульс тела ,   Работа силы , Дж Работа переменной силы Кинетическая энергия тела Потенциальная энергия тела: 1). в поле тяжести: а). б). – любое , – масса и радиус Земли – гравитационная постоянная 2). в поле упругих сил	Момент импульса Для вращающегося тела ,   Работа момента силы , Дж Кинетическая энергия вращающегося тела
Законы
Второй закон Ньютона Закон сохранения импульса	Основной закон динамики вращательного движения Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения энергии в механике
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонических колебаний Вид силы, вызывающий гармонические колебания ; Полная энергия колеблющейся материальной точки массы ; , где – смещение; – амплитуда колебания ( ); – фаза колебания; – начальная фаза; – циклическая частота; – период колебаний; – частота. Период колебаний физического маятника , где – момент инерции маятника относительно оси колебаний; – расстояние от оси колебаний до центра тяжести; – ускорение свободного падения; – масса маятника.

Пример1.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

. Через после начала движения полное ускорение точек обода колеса . Найти радиус колеса.

Дано: ; ;

;

.

Найти: .

Рисунок 1.

Решение. Полное ускорение точек обода .

Отсюда . (1.1)

Нормальное ускорение .

Так как движение равнопеременное ( , ),

то .

В нашем случае и .

Таким образом .

Тангенциальное ускорение связано с угловым

. (1.2)

Тогда . (1.3)

Подставим формулы (1.2) и (1.3) в формулу (1.1):

.

Отсюда .

Подставляя заданные численные значения величин, получим

.

Пример 2. Молот массой ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни . Определить

к. п. д. удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.

Дано: ; т .

Найти: .

Решение. По определению

(2.1)

В нашем случае затраченная работа равна кинетической энергии молота перед ударом

, (2.2)

где – скорость молота непосредственно перед ударом по железу.

Полезная же работа по закону сохранения энергии равна разности между кинетической энергией молота до удара и кинетической энергией системы – молот + наковальня – после удара.

. (2.3)

Массой небольшого куска железа пренебрегаем. Для определения скорости молота и наковальни после удара воспользуемся законом сохранения импульса.

В нашем случае имеем

.

В скалярном виде

.

Отсюда .

Подставляя это выражение в формулу (2.3), получим

. (2.4)

Подставим формулы (2.4) и (2.2) в исходную формулу (2.1)

.

Подставим численное значение величин

; .

Пример 3.Через неподвижный блок массой перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы массами и .

Определить силы натяжения шнура и по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу.

Дано: ; ; .

Найти: , .

Решение. Два тела и движутся поступательно. Воспользуемся вторым законом Ньютона

.

Для первого тела имеем

. Рисунок 2.

В скалярном виде (выбираем положительным направление движения вверх)

. (3.1)

Для второго тела

.

Выбираем положительным направление движения вниз

. (3.2)

Мы учли, что .

Третье тело – блок – вращается.

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения

.

В нашем случае

.

Считая положительным направление вращения по часовой стрелке, получаем

.

Учитывая, что

; ; ; ,

получаем ,

то есть .

Согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости шнура

и .

Таким образом

(3.3)

Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными: и .

,

,

.

Сложив, соответственно, левые и правые стороны уравнений, находим

.

Отсюда

. (3.4)

Подставляя формулу (3.4) в первое уравнение системы, находим

.

После подстановки численных значений

(н).

Соответственно, второе уравнение системы с учетом формулы (3.4) примет вид

.

(н).

Пример 4.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом , стоит человек. Масса платформы , масса человека . Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью

относительно платформы.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

Рисунок 3.

Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса

.

В нашем случае ,

так как в начале ни человек, ни платформа не двигались.

В скалярном виде, считая положительным направление движения человека, получим

. (4.1)

Моменты инерции человека и платформы относительно оси вращения, соответственно, равны

; . (4.2)

Угловая скорость человека относительно Земли есть

и так как ,

то . (4.3)

Подставим формулы (4.3) и (4.2) в формулу (4.1)

.

Отсюда .

Подставляем численные значения

.

Пример 5.Вагон массой движется на упор со скоростью

. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на . Определить максимальную силу сжатия буферных пружин и продолжительность торможения.

Дано: т ;

; .

Найти: и .

Решение. При сжатии пружин сила сжатия определяется их силой упругости ,

где – величина сжатия; – коэффициент жесткости пружин.

Соответственно, искомая сила максимального сжатия

. (5.1)

По закону сохранения энергии кинетическая энергия вагона при остановке перейдет в потенциальную энергию сжатия пружин

.

Отсюда .

Подставляя выражение для « » в формулу (5.1), получим

.

Вычисляем .

Для нахождения времени сжатия пружин используем то, что под действием сил упругости смещение вагона определяется гармоническим законом

,

а скорость вагона соответственно

.

В начальный момент сжатия было

,

.

Отсюда

; . (5.3)

При остановке через имеем

,

.

Отсюда

. (5.4)

. (5.5)

Подставляя в формулу (5.4) выражение (5.3) с учетом формулы (5.5) получим .

Окончательно .

.

Пример 6.На концах стержня массой 1 кг и длиной 40 см укреплены одинаковые грузы массами 400 г по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около оси, проходящей через точку, удаленную на 10 см от одного из концов стержня. Определить период колебаний стержня.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

Рисунок 4.

Решение. Период колебаний физического маятника (а это – любое тело, колеблющееся около оси, не проходящей через центр тяжести) определяется формулой

, (6.1)

где – расстояние от оси колебаний до центра тяжести маятника. В нашем случае

. (6.2)

– общая масса маятника .

. (6.3)

– ускорение свободного падения.

– момент инерции маятника относительно оси колебаний

. (6.4)

Моменты инерции грузиков, как материальных точек, равны

; . (6.5)

Моменты инерции стержня находим, используя теорему Штейнера-Гюйгенса .

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен и, значит,

. (6.6)

Подставляя формулы (6.5) и (6.6) в выражение (6.4) находим

.

И, подставляя это выражение вместе с формулой (6.3) в выражение (6.1), окончательно получаем

.

Вычисляем .

.

Задачи

1.01. Колесо радиусом вращается согласно уравнению

, где ; . Определить полное ускорение точек на окружности колеса в момент времени .

1.02. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями

и , где ; ; ;

; ; . В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

1.03. Материальная точка движется по окружности радиуса согласно уравнению , где ; . Найти скорость , тангенциальное _τ , нормальное и полное ускорения в момент времени

.

1.04. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид , где ; . Найти скорость и ускорение точки в моменты времени и . Каковы средние значения скорости и ускорения за первые движения?

1.05. Точка движется по прямой согласно уравнению , где

; . Определить среднюю скорость точки в интервале времени от до .

1.06. Две материальные точки движутся согласно уравнениям и , где ; м/с; ; ; , . В какой момент времени скорости этих точек одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

1.07. Диск радиусом вращается согласно уравнению , где ; ; . Определить тангенциальное , нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени .

1.08. По дуге окружности радиуса вращается точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки , вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол . Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

1.09. Точка движется по окружности с с тангенциальным ускорением . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение станет вдвое больше тангенциального.

1.10. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота колеса от времени дается уравнением , где , и . Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно .

1.11. Тело массой 3 кг поднимают вертикально с ускорением 4м/с². При этом совершается работа 126 Дж. На какую высоту подняли тело?

1.12. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Масса гири 0,5 кг. Определить силу натяжения в момент прохождения гирей положения равновесия.

1.13. Абсолютно упругий шар массой сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы. В результате центрального прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу m₂ большего шара.

1.14. Боек свайного молота массой падает с некоторой высоты на сваю массой . Найти к. п. д. бойка, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.

1.15. Шарик массой свободно падает с высоты на стальную плиту и подпрыгивает на высоту . Определить импульс р (по величине и направлению), сообщенный плитой шарику.

1.16. Шар массой движется со скоростью и сталкивается с покоящимся шаром массой . Вычислить работу A, совершенную при деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары считать неупругими.

1.17. Атом распадается на две части массами и

. Определить кинетические энергии T₁и Т₂частей атома, если их общая кинетическая энергия . Кинетической энергией и импульсом атома до распада пренебречь.

1.18. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на . На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты ?

1.19. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой со скоростью . Затвор пистолета массой прижимается к стволу пружиной, жесткость которой . На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? (Считать, что пистолет жестко закреплен.)

1.20. Две пружины жесткостью и скреплены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина была растянута на .

1.21. Диск радиусом и массой вращается согласно уравнению , где ; ; . Найти закон, по которому меняется вращающий момент, действующий на диск. Определить этот момент сил М в момент времени .

1.22. Маховик радиусом насажен на горизонтальную ось. На обод маховика намотан шнур, к которому привязан груз массой . Опускаясь равноускоренно, груз прошел расстояние за время . Определить момент инерции J маховика.

1.23. Через блок радиусом перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами и . При этом грузы пришли в движение с ускорением . Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать.

1.24. Тонкий стержень длиной и массой вращается около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине. Уравнение вращения стержня , где ; . Определить вращающий момент М в момент времени .

1.25. Шарик массой , привязанный к концу нити длиной , вращается с частотой , опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния .

С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

1.26. Платформа в виде диска радиусом вращается по инерции с частотой . На краю платформы стоит человек, масса которого

, С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы . Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

1.27. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой

, летящий в горизонтальном направлении со скоростью . Траектория мяча проходит на расстоянии от вертикальной оси вращения скамья. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки .

1.28. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча . Найти кинетическую энергию диска.

1.29. Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой

. Определить скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости.

1.30. Сплошной однородный диск катится по горизонтальной плоскости со скоростью . Какое расстояние пройдет диск до остановки, если его предоставить самому себе? Коэффициент трения при движении диска равен 0,02.

1.31. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 сек. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

1.32. Тонкий обруч радиусом 40 см подвешен на нити длиной 20 см. Определить частоту колебаний такого маятника.

1.33. Амплитуда колебаний материальной точки , полная энергия . При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила ?

1.34. Толстостенное кольцо с радиусами и колеблется около горизонтальной оси, отстоящей от центра кольца на расстоянии . Определить период колебаний такого маятника.