Фронт волны. длина волны

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

рисунок 3

На рис. 3 изображена кривая, которая дает смещение ξ из положения равновесия точек с различными х в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции ξ(х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ=υТ, (1)

где υ – скорость волны, Т – период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π. Заменив в соотношении (1) Т через 1/ν ( – частота колебаний), получим

λν =υ (2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

Волновое уравнение.

Рассмотрим произвольную функцию

f(at-bx) (3)

от аргумента (аt—bх). Продифференцируем ее дважды по t:

(4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу (at—bx). Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

(5)

Сравнивая (4) и (5), мы убеждаемся, что функция (3) удовлетво­ряет уравнению

(6)

Где u=a/b.

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f(at+bx) (7) (7) аргумента (at+bx), а также сумма функций вида (3) и (7).

Функции (3) и (7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сто­рону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (3) и (7) или суперпозицией таких функций, например,

(at - bх) + (at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(6a)

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью u, или суперпозиции таких волн.

Вид функций , определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acos(wt). В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны

s =Acos(wt±kx),

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции , , , ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == + + + ...

(принцип, суперпозиции).

Рассмотрим несколько примеров.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны

= Aсоs(wt — kx), = Acos(wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна

s=2Acoskx coswt,

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида

Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

в) Пусть волны , , имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции + этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, – волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как будто другой не существует.