При криволинейном движении ускорение точки

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКИ

Основные формулы и законы

Кинематические уравнения движения материальной точки (центра масс твердого тела) относительно осей координат x,y,z

, , ,

где f₁(t), f₂(t), f₃(t) – некоторые функции времени.

Скорость точки средняя ,

где – перемещение точки за интервал времени ; , – радиус-векторы точки, соответствующие моментам времени и начала и конца перемещения.

Проекции средней скорости на оси x,y,z

, , ,

где , , – проекции перемещения на оси, определяемые разностью координат точки в соответствующие моменты времени.

Средняя путевая скорость , где – путь, пройденный точкой за интервал време­ни . Путь в отличие от разности координат не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. ³ 0.

Скорость точки мгновенная .

Величина скорости , – зависимость пути, пройденного точкой, от времени.

Проекции мгновенной скорости на оси x,y,z

, , ,

Величина скорости .

Если точка движется в плоскости Oxy:

.

Ускорение точки среднее , где – изменение (приращение) скорости за время .

Проекции среднего ускорения на оси х, y, z

, , .

Ускорение точки мгновенное .

При криволинейном движении ускорение точки

, ,

где – тангенциальное ускорение точки; – нормальное ускорение.

Модуль ускорения .

Проекции мгновенного ускорения на оси х, y, z

, , ;

модуль ускорения .

Кинематическое уравнение вращательного движения твердого тела (материальной точки по окружности радиусом )

,

где j – угол поворота тела; – некоторая функция времени.

Угловая скорость тела (радиуса точки) .

Угловое ускорение тела (радиуса точки) .

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

, , ,

где – модуль линейной скорости; и – модули тангенциального и нормального ускорений; – модуль угловой скорости; e – модуль углового ускорения; – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или .

Угол a между полным и нормальным ускорениями

, .

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки вдоль оси Ох

,

где x – смещение; А – амплитуда колебаний; w – угловая, или циклическая частота; j – начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты и ; результирующее колебание :

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

;

а) если разность фаз или k=0,1,2,3,…;

б) если разность фаз k=0,1,2,…;

в) , если разность фаз

Импульс материальной точки массой т, движущейся со скоростью , .

Второй закон Ньютона , или , где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести ;

в) сила гравитационного взаимодействия ,

где G – гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность g гравитационного поля:

;

г) сила трения (скольжения) F = fN,

где f – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (N=2): ,

где и – скорости тел в начальный момент времени; и – скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно:

, или , .

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины , где k – жесткость пружины; х – абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия ,

где m₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения полной механической энергии

.

Работа А, совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

.

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния твердого тела относительно неподвижной оси z

,

где e_z – угловое ускоре­ние; J_z – момент инерции тела относительно оси вращения; M_z – результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело.

Моменты инерции некоторых тел массой т относи­тельно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню ;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

.

Проекция на ось z момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси z,

,

где w – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вра­щающих-ся вокруг неподвижной оси z:

,

где J_z – момент инерции системы тел относительно оси z; w – угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

, или .

Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка брошена с начальной скоростью м/с под углом α = 60 ° к горизонту. Найти скорость точки и радиус кривизны траектории в момент времени t₁ = 2 c.

Решение.Уравнения движения точки:

Рис. 1.1   Рис. 1.1

, , , , (1.1)

где проекции начальной скорости на оси координат:

, .

Определим проекции скорости (1.1) точки в момент времени t₁=2 c:

,

.

Величина скорости 16,3 м/с.

Нормальное ускорение точки . Тогда радиус кривизны траектории . Определим . Из рис. 1.1 следует

,

где a – угол между полным ускорением и нормальным ускорением. По условию – ускорение свободного падения. Также из рисунка получаем, что . Следовательно, радиус кривизны траектории . Вычислим .

Ответ: = 16,3 м/с, R = 29,46 м.

Пример 2.Материальная точка движется в соответствии с уравнениями:

x=A+Bt+Ct³, y=Kt+Lt², (1.2)

где А = 3 м, В = 1 м/с, С = -1 м/с³, K = 1,5 м/с, L = 2 м/с².

Найти координаты, скорость и ускорениеточки в момент времени t=1 c.

Решение. Координаты точкинайдем, подставив в уравнения движения (1.2) числовые значения коэффициентов А, В, С, K, L ивремени t:

, .

Проекции мгновенной скорости точки на оси х, y есть первые производные от координат (1.2) по времени:

, . (1.3)

При t = 1 c ; . Величина скорости м/с.

Проекции ускорения точки найдем, взяв первые производные от проекций скорости (1.3) по времени:

, . (1.4)

Величина ускорения точки .

При t = 1 c м/с², м/с², м/с².

Пример 3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

j=A+Bt+Ct², (1.5)

где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти скорость и ускорение точки, находя­щейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с. Показать векторы скорости и ускорения на рисунке.

Решение. Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле , где w – модуль угловой скорости тела. Угловую скорость w найдем, взяв первую производ­ную от угла поворота (1.5) по времени:

. (1.6)

В момент времени t = 4 c модуль угловой скорости

рад/с.

Скорость точки м/с.

Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.2):

.

Так как векторы взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения . (1.7)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

, ,(1.8)

где e – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а_t и а_n в формулу (1.7), находим

. (1.9)

Угловое ускорение найдем, взяв первую производ­ную от угловой скорости (1.6) по времени:

рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (1.9), получаем

м/с².

Вектор касательного ускорения направлен против скорости, т.к. угловое ускорение .

Пример 4.Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по лотку длиной l = 2 м с коэффициентом трения f=0,1 на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) переме­щаться по рельсам в горизонтальном направлении. Опре­делить скорость u тележки с ящиком, если лоток накло­нен под углом a = 30 ° к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести G₁ = m₁g и G₂ = m₂g и сила реакции N₂ (рис. 1.3). Поэтому применить закон сохранения импульса в общем к системе “ящик – тележка” нельзя. Однако, так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.

Рис. 1.3

, (1.10)

где p_1x и p_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p’_1x и p’_2x – те же величины после падения ящика.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1.10) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2x=0 (тележка до взаимодей­ствия с ящиком покоилась), а также что после взаимо­действия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:

, или , (1.11)

где v₁ – модуль скорости ящика перед падением на тележку; – проекция этой скорости на ось х.

Из (1.11) следует . (1.12)

Модуль скорости v₁ определим из закона сохранения энергии при движении ящика по лотку с учетом силы трения F_тр:

,

где , , ,

. (1.13)

Подставив выражение v₁ в формулу (1.12),получим

.

Вычисляем скорость тележки:

м/с.

Пример 5. Паром массой m₁ и длиной l стоит на неподвижной воде. На его корме находится контейнер массой m₂. Затем контейнер был перемещен на носовую часть парома с помощью собственного крана. На какое расстояние s переместится паром относительно дна? Силами трения и сопротивления пре­небречь.

Рис. 1.4

Решение. Система паром-контейнер относительно горизонтального направления может рассматриваться как замкнутая. Из закона сохранения импульса следует, что внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Следовательно, при перемещении контейнера центр масс системы т. С не изменит своего положения относительно дна. Координата центра масс x_c системы определяется выражением ,где m – масса системы; m_i – массы тел.

Выберем начало системы координат так, чтобы ось Oy проходила в начальный момент через точку C₁ – центр масс парома. Обозначим координаты x₁ центра масс парома т. C₁ и x₂ – центра масс контейнера т. C₂ – до перемещения (рис. 1.4), x’₁, x’₂ – после перемещения.

Положение центра масс системы не изменилось, следовательно

. (1.14)

Из рисунка следует, что , – до перемещения, , – после перемещения. Получаем из (1.14):

, , – перемещение парома.

Пример 6. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пру­жины и силами трения пренебречь.

Решение.Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить за­кон сохранения энергии в механике. Согласно ему, полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энер­гии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

,или ,(1.15)

где Т₁, Т₂, П₁ и П₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях. Так как кинетические энергии пули в начальном и ко­нечном состояниях равны нулю, то равенство (1.15) при­мет вид

. (1.16)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяго­тения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в на­чальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. , а в конечном состоя­нии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. .

Подставив выражения П₁ и П₂ в формулу (2), най­дем , откуда . (1.17) Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (1.17) вместо величин подставим их единицы измерения:

.

Убедившись, что полученная единица является еди­ницей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) зна­чения величин и произведем вычисления:

Н/м.

Пример 7. Шар массой m₁, движущийся горизон­тально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой т₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю k своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

, (1.18)

где – кинетическая энергия и скорость первого шара до удара; u₂ и T₂ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1.18), для определения k надо найти . Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

, (1.19)

.(1.20)

Решим совместно уравнения (1.19) и (1.20):

. (1.21)

Подставив выражение u₂ (1.21) в формулу (1.18) и сократив на v₁ и m₁, получим

.

Из найденного соотношения видно, что доля передан­ной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Рис.1.5

Пример 8.Через блок в виде сплошного диска, имею­щего массу m = 80 г (рис. 1.5), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены гру­зы с массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пре­небречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Нью­тона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

, (1.22)

для второго груза

. (1.23)

Под действием моментов сил Т₁’ и Т₂’ относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направлен­ной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

, (1.24)

где ; –момент инерции блока (сплош­ного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесо­мости нити , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (1.24) вместо Т₁’ и Т₂’ выражения Т₁ и Т_2, получив их предварительно из уравнений (1.22) и (1.23):

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

. (1.25)

Формула (1.25) позволяет массы т₁, т₂ и т выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускоре­ние – в единицах СИ. После подстановки числовых зна­чений в формулу (4) получим

м/с².

Пример 9. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вра­щения п₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движе­ния в виде

, (1.26)

где dL_z – изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал вре­мени dt; M_z – момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относи­тельно оси z.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени ( ), поэтому интегрирование уравнения (1.26) приводит к выражению

. (1.27)

При вращении твердого тела относительно неподвиж­ной оси изменение проекции момента импульса

,(1.28)

где J_z – момент инерции маховика относительно оси z; Dw – изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (1.27) и (1.28), получим , откуда . (1.29)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

. (1.30)

Изменение угловой скорости выразим через конечную n₂ и начальную п₁ частоты вращения, пользуясь соотношением :

. (1.31)

Подставив в формулу (1.29) выражения J_z (1.30) и Dw (1.31), полу­чим

. (1.32)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу мо­мента силы (Н·м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

.

Подставим в (1.32) числовые значения величин и произ­ведем вычисления, учитывая, что n₁=480 мин ^-1 с^-1=8 с^-1:

.

Знак минус показывает, что момент сил трения ока­зывает на маховик тормозящее действие.

Пример 10.Платформа в виде сплошного диска радиу­сом R = 1,5 м и массой m₁ = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n = 10 мин^-1. В центре плат­формы стоит человек массой m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внеш­них сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать рав­ным нулю. При этом условии проекция L_z момента им­пульса системы платформа – человек остается по­стоянной:

,(1.33)

где J_z – момент инерции платформы с человеком отно­сительно оси z; w – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инер­ции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии , а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1.33) примет вид

,(1.34)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоя­нию системы; J₁’ и J₂’ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется:

.

Мо­мент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материаль­ную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоя­нии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека .

Подставим в формулу (1.34) выражения моментов инер­ции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w’= /R, где – скорость человека относительно пола):

. (1.35)

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость:

. (1.36)

Произведем вычисления: .

Пример 11.Ракета установлена на поверхности Земли и запущена в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v₁,сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37·10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При не­работающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

, (1.37)

где кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, рав­ном радиусу Земли) состояниях. Согласно определению кинетической энергии, .

Потенциальная энергия ракеты в начальном со­стоянии .