Задачи для самостоятельного решения. РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Р = (n m₀<υ_кв>²)/3 = (2/3)n<W_к>,

Р = nkT,

где Р – давление; n – число молекул в единице объема; m₀ – масса одной молекулы газа; <υ_кв> – средняя квадратичная скорость молекулы; k –постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

2. Концентрация молекул

n = N/V,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; V – объем.

3. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

<W_к> = (3/2) kT.

4. Средняя кинетическая энергия молекулы

<W> = (i/2) kT,

где i – число степеней свободы молекулы.

5. Средняя квадратичная скорость молекулы

<υ_кв> = = ,

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; m₀ – масса молекулы; μ – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная.

6. Средняя арифметическая скорость молекулы

<υ> = = .

7. Наиболее вероятная скорость молекулы

υ_в = = .

8. Количество вещества

n = m/ μ = N/N_A,

где m – масса вещества; μ – его молярная масса; N – число молекул; N_A – число Авогадро.

9. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева –Клапейрона)

PV = (m/μ) × RT,

где Р – давление газа в сосуде; V – объем сосуда; m – масса газа, содержащегося в данном сосуде; μ – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; Т – абсолютная температура.

10. Изотермический процесс (Т = const, m = const)

P₁V₁ = P₂V₂.

11. Изохорический процесс (V = const, m = const)

P = P₀ (1+ at) или P₁/P₂ = T₁/T₂,

где t – температура по шкале Цельсия; T – температура по шкале Кельвина; a – температурный коэффициент.

12. Изобарический процесс (Р = const, m = const)

V = V₀(1+ at) или V₁/V₂ = T₁/T₂.

13. Работа расширения газа:

в общем случае

A = ;

при изобарическом процессе

A = P DV;

при изотермическом процессе

A = ν R T ln(V₂/V₁);

при адиабатическом процессе

A = – ν С_V ΔТ,

где DV – изменение объема; R – универсальная газовая постоянная; ν – количество вещества; С_V – теплоемкость при постоянном объеме; DТ – изменение температуры.

14. Внутренняя энергия идеального газа

U = (ν R T)(i/2) = ν С_V Т,

где i – число степеней свободы молекулы.

15. Удельные теплоемкости газа:

при постоянном объеме

с_v =(i/2) (R/μ),

при постоянном давлении

с_р =(i+2/2) (R/μ).

16. Уравнение Майера для удельных теплоемкостей

с_р – с_v = R/μ.

17. Уравнение Пуассона

(P V)^γ = const,

где γ = С_р / С_v = (i + 2)/i, С_р,С_v – молярные теплоемкости при постоянном давлении, объеме.

18. Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями

c = С/μ.

19. Уравнение теплового баланса

Q = c m (t₂ – t₁),

где Q – количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m от температуры t₁ до температуры t₂; c – удельная теплоемкость вещества.

20. Теплота плавления

Q = l m,

где l – удельная теплота плавления вещества.

21. Теплота парообразования

Q = r m,

где r – удельная теплота парообразования вещества.

22. Первый закон термодинамики

Q = DU + A,

где Q – количество теплоты, сообщенное термодинамической системе; DU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

23. Коэффициент полезного действия цикла Карно

h = (Q₁ – Q₂)/Q₁ =(T₁ – T₂) /T₁,

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное холодильнику; Т₁ – абсолютная температура нагревателя; Т₂ – абсолютная температура холодильника.

24. Разность энтропий двух состояний В и А

.

25. Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла)

DN = N × f(u) × Du

f(u) = (4/ ) u²,

где ΔN – число молекул, относительные скорости которых лежат в интервале от u до (u + Δu); u =υ/υ_в – относительная скорость, где υ – данная скорость,
υ_в – наиболее вероятная скорость молекул; Δu – величина интервала относительных скоростей, малая по сравнению со скоростью u.

26. Барометрическая формула

P_h= P₀ e^(–μgh/RT),

где P_h – давление газа на высоте h; P₀ – давление на высоте h = 0; g – ускорение свободного падения.

27. Средняя длина свободного пробега молекул газа

<λ> = <υ>/<z> = 1/( πσ²n),

где <υ> – средняя арифметическая скорость; <z> – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени; σ – эффективный диаметр молекулы; n – число молекул в единице объема.

28. Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

Z = (1/2) <z> n.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить плотность воздуха при давлении 830 мм рт. ст. и температуре 17 °С.

Решение.Для решения задачи необходимо перевести данные в единицы международной системы СИ. Давление воздуха равно 830 мм рт. ст. Это значит, что давление воздуха равно давлению у основания ртутного столба высотой 830 мм, а оно рассчитывается по формуле

,

где Р – давление; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – высота столба жидкости.

Переведем температуру в градусы Кельвина:

Молярная масса воздуха

Плотность газа определяется отношением его массы к объему:

.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим плотность:

,

Пример 2. В баллоне объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Температура газа в баллоне не изменилась.

Решение. Массу израсходованного кислорода можно определить как разность масс газа до работы с баллоном и после работы с баллоном:

В общем виде изменение массы газа определяется по формуле

Решая последнее уравнение, мы получим Dm < 0. Это говорит о том, что масса газа в баллоне уменьшается. В предложенной задаче мы определяем убыль массы газа, а не изменение массы.

Считая кислород в баллоне идеальным газом, мы можем для описания его состояния использовать основное уравнение газового состояния – уравнение Менделеева – Клапейрона

Это уравнение дает возможность выразить значения масс в начальном и конечном состояниях кислорода:

По условию задачи

Определим убыль массы газа:

Масса израсходованного газа Dm = 0.051 кг.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?

Решение.Средняя арифметическая скорость <u> молекул определяется по формуле

где m – масса одного киломоля газа.

Выразим числовые значения R и m в системе СИ и подставим в формулу:

Число столкновений молекулы в секунду <z> зависит от средней скорости молекулы<u> и средней длины ее свободного пробега <l> и выражается формулой

Пример 4. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 °С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом нагревании, определяется по формуле

где m – масса нагреваемого газа; с_р – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; DT – изменение температуры газа.

Как известно,

,

где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса одного киломоля газа.

Подставив выражение с_p в Q, получим

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах системы СИ: m = 200 г =0.2 кг; i = 5, т. к. водород – газ двухатомный.

;

.

Подставим эти значения в формулу Q и произведем вычисление:

Внутренняя энергия газа выражается формулой

Следовательно, изменение внутренней энергии

Подставив сюда числовые значения в системе СИ, получим

Работу расширения газа найдем по формуле, выражающей первое начало термодинамики,

Q = DU + A,

откуда

A = Q – DU.

Подставив значение Q и DU, найдем

Работу, совершаемую газом, можно определить также по формуле

Подставив числовые значения, получим

Пример 5. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру 200 °С. Какова температура охладителя, если за счет каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1680 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитываются.

Решение.Температуру охладителя можно найти, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно,

где Т₁ – абсолютная температура нагревателя; Т₂ – абсолютная температура охладителя.

Отсюда

Т₂ = Т₁ (1 – h).

Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение количества теплоты, которое превращено в работу А, к количеству теплоты Q₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.

Найдем температуру охладителя

Выразим все величины в системе СИ и вычислим температуру охладителя:

Q₁ = 1 ккал = = 4.19×10³ Дж;

Т₁ = 200 + 273 = 473 К;

.

Пример 6. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от
0 до 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение.Найдем отдельно изменение энтропии при нагревании воды и изменение энтропии при превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой и .

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ = mcdT,

где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость.

Запишем формулу для вычисления энтропии при нагревании воды:

Вынеся за знак интеграла постоянные величины и произведя интегрирование, получим

Произведем вычисления в системе СИ:

m = 100 г = 0.1 кг;

Т₁=273 К;

Т₂=100+273=373 К;

При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура T может быть вынесена за знак интеграла. Вычислив интеграл, получим

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры;

Q = lm,

где l – удельная теплота парообразования.

Таким образом, изменение энтропии

.

Выразим числовые значения величин в системе СИ:

;

m = 0.1 кг;

T = 373 K.

Произведем арифметические действия:

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Пример 7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не выше чем на 5 м/с?

Решение.Распределение молекул по относительным скоростям выражается уравнением

Здесь N – полное число молекул газа; f(u) – функция распределения Максвелла; u = υ/υ_в, где υ – данная скорость, υ_в – наиболее вероятная скорость.

Поскольку в задаче речь идет о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = υ_в. Следовательно, u = 1 и уравнение примет более простой вид:

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Δu:

. (1)

Прежде чем производить расчеты по (1), необходимо убедиться в том, что выполняется условие Δu<<u. Так как u = υ/υ_в, то

Δu = Δυ/υ_в. (2)

Чтобы вычислить Δu по (2), найдем сначала наиболее вероятную скорость по формуле

Подставив это значение в (2) и имея в виду, что Δ υ=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от (υ_в – 5 м/с) до (υ_в + 5 м/с), получим Δu = 1/182.

Теперь сделаем подстановку в формулу (1):

Δu=

Пример 8. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 °С.

Решение.Воспользуемся барометрической формулой

,

где p – давление на высоте слоя газа h; p₀ – давление на высоте h = 0; μ – молярная масса газа; T – его абсолютная температура.

Итак, по условию задачи

p = 3p₀/4= p₀ e^–μgh/RT,

откуда

e^–μgh/RT = 3/4,

–μgh/RT = ln(3/4),

следовательно,

h = (–RT ln(3/4))/(μg).

Вычислим результат:

h = (–8.31∙273∙ln(3/4))/(0.029∙9.8) = 2296.4 м.

Задачи для самостоятельного решения

1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 1272 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа? (Ответ: 1.432 10²³.)

2. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 0.820 м³, равна 0.949 × 10⁵ Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 0.313 × 10⁵ м/с. Найти давление, под которым находится азот. (Ответ: 7.712 10⁴ Па.)

3. Найти среднюю арифметическую скорость молекул газа, плотность которого при давлении 618 мм рт. ст. равна 61.778 г/л. (Ответ: 58.2 м/с.)

4. Найти энергию теплового движения молекул аммиака, находящихся в баллоне объемом 53 л при давлении 44 кПа. (Ответ: 6.996 × 10³ Дж.)

5. В баллоне, объем которого 1 л, находится водород при температуре минус 49 °С. Давление водорода 283 кПа. Найти число молекул водорода, скорости которых лежат в интервале от 1.19 км/с до 1.21 км/с. (Ответ: 1.081 × 10²¹.)

6. Определить температуру газообразного азота, при которой скоростям V₁ = 300 м/с и V₂ = 2V₁ соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла f(V). (Ответ: 328 К.)

7. Определить относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 0.90 % от наивероятнейшей. (Ответ: 1.494 × 10^–2.)

8. Определить среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре 511 К. (Ответ: 2.116 × 10^–20 Дж.)

9. С помощью распределения Максвелла по скоростям получить соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям и определить наиболее вероятное значение кинетической энергии при температуре 698 К для молекул гелия. (Ответ: 4.816 × 10^–21 Дж.)

10. Определить полную энергию молекул воздуха в единице объема, находящихся на высоте 2.50 км над уровнем моря. Температуру воздуха по высоте считать постоянной и равной минус 8 °С. Давление воздуха на уровне моря равно 766 мм рт. ст.( Ответ: 2.083·10⁵ Дж.)

11. Азот, занимавший объем 23 литра под давлением 347 кПа, изотермически расширился до объема 115 литров. Определить работу расширения газа. (Ответ: 1.284 × 10⁴ Дж.)

12. Водород массой 83 г нагрели на 479 К, причем газу была передана теплота 162 кДж. Найти изменение внутренней энергии водорода. (Ответ: 4.130 × 10⁵ Дж.)

13. Вычислить величину отношения удельных теплоемкостей для газовой смеси, состоящей из 3 кмоль кислорода и 2 кмоль углекислого газа. Газы считать идеальными. (Ответ: 1.37.)

14. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему была сообщена теплота 17 кДж. Какую работу совершил при этом газ? (Ответ:
4.857 × 10³ Дж.)

15. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа (азота) при изотермическом расширении его от объема 8 м³ до объема 19 м³ при температуре 361 К. (Ответ: 2,603 × 10⁶ Дж.)

16. В закрытом сосуде объемом 28 л находятся равные массы аргона и азота при нормальных условиях. Какое количество тепла нужно сообщить этой газовой смеси, чтобы нагреть ее на 47 °С? (Ответ: 10³ Дж.)

17. Кислород массой 195 г нагревают изобарически, при этом температура газа увеличивается от 76 до 288 °С. Найти изменение энтропии газа. (Ответ: 84.1 Дж/К.)

18. Один киломоль кислорода совершает прямой цикл Карно в интервале температур от 27 до 180 °С. Известно, что отношение максимального за цикл давления к минимальному равно 39. Определить работу, совершаемую газом за цикл. (Ответ: 2.82 ·10⁶ Дж.)

19. В теплоизолированном сосуде находится 107 молей гелия и 82 г льда. В начальный момент температура льда 232 К, гелия – 330 К. Сосуд закрыт подвижным поршнем. Определить изменение энтропии при переходе к равновесию. (Ответ: 24.3 Дж/К.)

20. В двух баллонах, соединенных трубкой с краном, находится 4 кг азота и 8 кг углекислого газа. Определить изменение энтропии системы после открытия крана и установления равновесия. Известно, что температуры и давления газов до смешения были одинаковы.(Ответ: 1.85 ·10³ Дж/К.)