Основы равновесной термодинамики
· Удельная теплоёмкость вещества: .
· Молярная теплоёмкость вещества: .
· Молярные теплоёмкости при постоянном объёме ( ) и постоянном давлении (
):
, где
- число степеней свободы, т.е.
· Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоёмкостями:
с=С/М,
где М – молярная масса.
· Внутренняя энергия идеального газа:
.
· Работа расширения газа:
- в общем случае.
- при изобарном процессе.
- при изотермическом процессе.
- при адиабатном процессе,
где .
· Первое начало термодинамики:
,
где Q – количество теплоты, сообщённое системе, - изменение внутренней энергии системы, А – работа, совершённая системой против внешних сил.
Если над системой совершается работа ( ), то первое начало термодинамики:
, причём
.
· Первое начало термодинамики применительно к изопроцессам:
1) Изотермический ( ):
(
);
2) Изохорный ( ):
(
);
3) Изобарный ( ):
;
4) Адиабатный ( ):
или
.
· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:
, где
.
· Коэффициент полезного действия цикла Карно, который состоит из двух изотерм и двух адиабат:
,
где - количество теплоты, полученное от нагревателя,
- количество теплоты, переданное холодильнику,
- температура нагревателя,
- температура холодильника.
· Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:
.
ОСНОВЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
· Средняя длина свободного пробега молекул газа
,
где - средняя арифметическая скорость, <z> - среднее число столкновений каждой молекулы с остальными за единицу времени, σ - эффективный диаметр молекулы, n - число молекул в единице объема (концентрация)
· Средняя продолжительность свободного пробега
.
· Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени
.
· Явления переноса – возникают при отклонении газа от равновесия:
· Диффузия – возникает при градиенте плотности (концентрации) и обусловлена переносом массы.
Коэффициент диффузии
.
Масса, перенесенная за время dt при диффузии через площадку dS, расположенную перпендикулярно направлению, вдоль которого происходит диффузия
,
где - градиент плотности, знак «минус» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.
· Внутреннее трение (вязкость) – возникает при градиенте скорости, возникающем при движением слоёв жидкости или газа относительно друг друга и обусловлено переносом импульса молекул из слоя в слой.
Динамический коэффициент внутреннего трения (вязкости)
,
где ρ - плотность вещества.
Сила внутреннего трения, действующая на элемент поверхности слоя с площадью dS
,
где - градиент скорости, знак «минус» указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.
· Теплопроводность –возникает при градиенте температуры и обусловлена переносом средней кинетической энергии молекул.
Коэффициент теплопроводности
,
где cv - удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.
Количество теплоты, перенесенное через поверхность dS, перпендикулярную направлению теплового потока за время dt
,
где - градиент температуры, знак «минус» показывает, что энергия переносится в направлении убывания температуры.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
· Закон Кулона
где F – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; e0 =8,85×10-12 Ф/м – электрическая постоянная, -диэлектрическая проницаемость вещества (для вакуума
)
· Напряженность и потенциал электростатического поля
;
, или
,
где - сила, действующая на точечный положительный заряд
, помещенный в данную точку поля;
- потенциальная энергия заряда
;
- работа по перемещению заряда
из данной точки поля за пределы поля.
· Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии
от заряда
;
.
· Поток вектора напряженности через площадку
,
где - вектор, модуль которого равен
, а направление совпадает с нормалью
к площадке;
- составляющая вектора
по направлению нормали
к площадке (
),
-угол между векторами
и
.
· Поток вектора напряженности через произвольную поверхность
.
· Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность (рис.12)
.
Рис.12
· Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей
;
,
где ,
- соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом
.
· Направление вектора напряжённости , создаваемого точечным зарядом
(рис.13)
Рис.13
ПРИМЕР. Найти напряженность электрического поля, созданного двумя разноимёнными зарядами в точках А, В и С (рис.14)
Рис.14
В точке А: Е=Е1+ Е2
В точке В: Е=Е1 – Е2
В точке С: Е=
· Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
, или
,
где ,
,
- единичные векторы координатных осей.
· Вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала (рис.15)
Рис.15
· Направление вектора градиента потенциала в точке А (рис.16)
Рис.16
· В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией
.
· Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Вектор напряжённости направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности.
· Электрический момент диполя (дипольный момент)
,
где - плечо диполя, О – центр диполя (рис.17).
Рис.17
Напряжённость поля на продолжении оси диполя на расстоянии от центра диполя r>>l
.
Напряжённость поля на перпендикуляре, восстановленном к оси из его середины на расстоянии r>>l
.
· Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов, т.е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины, поверхности и объема:
;
;
.
· Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
,
где - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; N – число зарядов.
Если заряд распределён внутри замкнутой поверхности непрерывно с объёмной плотностью , то
Примеры: 1.Определить поток ФЕ вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечный заряд (рис.18).
Рис.18
По теореме Гаусса .
2. Как изменится поток через ту же поверхность, если внутрь поместить ещё один заряд (рис.19)?
Рис.19
По теореме Гаусса , т.е. поток уменьшится вдвое и станет отрицательным.
3. Как изменится поток через данную поверхность, если около неё поместить любой заряд (рис.20)?
Рис.20
Поток не изменится, т.к. заряд находится вне поверхности.
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,
.
· Напряжённость поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными плоскостями
- между плоскостями,
- вне плоскостей.
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы,
E = 0 при r < R (внутри сферы);
при r ³ R (вне сферы).
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром (нитью) радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,
E = 0 при r < R (внутри цилиндра);
при r ³ R (вне цилиндра).
· Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2,
, или
,
где - проекция вектора
на направление элементарного перемещения
,
и
- потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.
· Работа сил электростатического поля не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положениями, по замкнутому пути работа равна нулю.
· Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля равна нулю, следовательно это поле потенциальное
.
Это значит, что линии напряжённости электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.
· Вектор поляризации диэлектрика:
,
где V – объем диэлектрика; - дипольный момент i-й молекулы.
· Связь между векторами поляризации и напряженности электростатического поля внутри диэлектрика
æe0
,
где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.
· Связь диэлектрической проницаемости e с диэлектрической восприимчивостью æ
e = 1 + æ.
· Связь между напряженностью поля в диэлектрике и напряженностью
внешнего поля
, или
.
· Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля
.
· Связь между векторами электростатического смещения ( ), напряжённости поля (
) и поляризации (
)
.
· Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
,
где - алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности
свободных электрических зарядов;
- составляющая вектора
по направлению нормали
к площадке
;
- вектор, модуль которого равен
, а направление совпадает с нормалью
к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.
· Электроемкость уединенного проводника и конденсатора
,
,
где - заряд, сообщенный проводнику;
- потенциал проводника;
– разность потенциалов между пластинами.
· Электроемкость плоского конденсатора
,
где - площадь каждой пластины конденсатора;
- расстояние между пластинами.
· Электроемкость цилиндрического конденсатора
,
где - длина обкладок конденсатора;
и
- радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.
· Электроемкость сферического конденсатора
,
где и
- радиусы сферических обкладок конденсатора.
· Электроемкость системы конденсаторов соответственно при последовательном (а) и параллельном (б) соединениях
а) , б)
,
где - электроемкость
- го конденсатора;
- число конденсаторов.
· Энергия уединенного заряженного проводника
.
· Потенциальная энергия системы точечных зарядов
,
где ji – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi , всеми зарядами, кроме i-го.
· Энергия заряженного конденсатора
,
где q – заряд конденсатора; C – его емкость; U - разность потенциалов между обкладками.
· Сила притяжения между обкладками плоского конденсатора
.
· Энергия электростатического поля плоского конденсатора
,
где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами; V=Sd – объем области между пластинами конденсатора.
· Объемная плотность энергии электростатического поля
,
где D – электрическое смещение, -напряжённость поля.
· Если конденсатор заряжен до разности потенциалов ( ) и отключенот источника тока, то при изменении расстояния между пластинами заряд на них неизменен,т.е.
.
А если конденсатор не отключен от источника тока, то при изменении расстояния между пластинами неизменнаразность потенциалов на нем, т.е. .