Электростатика. Диэлектрики

Примеры решения задач

23. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью = 50 нКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Дано: Q = 40 нКл = Кл = 50 нКл/м = = Кл/м h =

Напряженность поля, создаваемого этим зарядом

где – электрическая постоянная; – единичный вектор, направленный вдоль r . Разложим вектор на две составляющие: вдоль оси Z, и , перпендикулярную оси z ,т.е.

.

Напряжённость электрического поля в точке А найдём интегрированием

,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и d , расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и , в точке А равны по модулю и противоположны по направлению = – , т.е компенсируют друг друга.

Составляющие для всех элементов кольца сонаправлены с осью z, т.е. = .

Тогда

Так как , ; , то

.

Таким образом .

Поскольку , то радиус кольца .

Тогда .

Значение напряженности на расстоянии z = h = R/2.

= 7000 В/м = 7,9 кВ/м

Ответ: Е = 7,9 кВ/м.

24. Электрическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом R, равномерно заряженным с линейной плотность τ. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии и от поверхности этого цилиндра. Решение

Дано R τ

φ1 – φ2 ?

Интегрирал по гауссовой поверности, верхности раскладываем на три интеграла: по верхнему и нижнему основаниям, по боковой поверхности. Интеграл по верхнему основанию , так как угол между вектором элементарной площадки и вектором равен π /2 и cos π /2 = 0. Аналогично для нижнего основания. Остается интеграл по боковой поверхности , здесь угол = 0, cos 0 = 1, значение напряженности Е на одном и том же расстоянии r одинаково, Е выносим за знак интеграла . В правой части теоремы Гаусса заряд, охватываемый гауссовой поверхностью . Таким образом, получаем

Для нахождения разности потенциалов воспользуемся связью напяженности и потенциала

.

Для случая радиальной симметрии, реализующейся у нас,

.

Интегрируя это выражение, получим

или

.

Ответ: .

25. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка ( = 6) толщиной l = 2,00 мм, заряжен до напряжения U = 200 В (рис. 1). Пренебрегая величиной заряда между пластинкой и обкладками, найти а) поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также б) поверхностную плотность связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле. Изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздушном зазоре между стеклом и обкладками.

Решение: Величину σ выразим через напряженность поля Е внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает эту напряженность поля в раз, используем формулу поля напряженности для плоского конденсатора = , с учетом наличиия диэлектрика   Дано: = 6,0 = 2,00 мм U = 200 В

σ – ? σ´ – ? силовые линии Е

(1)

Отсюда, учитывая соотношение Е = , справедливое для однородного поля конденсатора, найдем:

(2)

Чтобы определить величину , воспользуемся формулой = (поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика). Так как вектор параллелен вектору напряженности поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхности стеклянной пластинки, то = . Учитывая соотношение = æ , где æ – диэлектрическая проницаемость среды и соотношение æ, получим:

æ (3)

Подставляя в формулы (2) и (3) величины в единицах СИ: U = 200 B, = 2,00 м, = 8.85 Ф/м, найдем:

= =

Чтобы изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздуш ном зазоре, надо помнить, что густота силовых линий пропорциональна напряженности поля, а диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз поле внутри диэлектрика слабее поля внутри зазора, следовательно густота силовых линий внутри стеклянной пластинки в шесть раз меньше, чем в зазоре (рис. 2).

Ответ: = =

26. Определить дивергенцию следующих векторных полей:

a) , где f(x) – некоторая функция декартовой координаты х;

b) , где – радиус-вектор точки, в которой определяется дивергенция.

Дано: а) ; b)	Решение По определению . a) ; b) Выразим радиус-вектор через компоненты:
div - ?

,

.

Ответ:а) ; b) div = 3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью r. Найти напряженность поля для точек внутри и вне шара.

( ; )

3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью l. Найти напряженность электрического поля Е и потенциал j как функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r₀ положить равным нулю.

(E = (1/2pe₀) l/r; j = -(l/2pe₀) ln(r/r₀))

3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t = 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд Q = 0,20 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(F = 2,2 мН)

3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r = 60 мм равномерно распределен заряд q = 20 нКл.

а) приняв ось кольца за ось х, найти потенциал j и напряженность поля на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца);

б) исследовать случаи х = 0 и ½х½>> r.

(E = (1/4pe₀)× ; j = (1/4pe₀) )

3.5. Чему равен поток вектора через поверхность сферы, внутри объема которой находится:

а) заряд е;

б) заряд -е;

в) диполь с моментом ?

Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.

3.6. Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.

3.7. Два точечных заряда +е и -е расположены в точках с координатами (а/2,0,0), (-а/2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Е_х(х) для точек, лежащих на оси х (у = 0).

3.8. Найти зависимость плотности зарядов от декартовых координат ρ(x,y, z), при которой напряженность поля описывалась бы функцией (В/м).

(ρ(x,y, z) = Кл/м³)

3.9. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: j = a(x²+y²)-bz², где а и b – положительные константы. Найти напряженность поля Е и ее модуль ½Е½. Построить графики зависимости E_x = f(x), E_z = f(z).

(E = ; )

3.10. Плоский воздушный конденсатор подключили к батарее, а затем отключили от неё. После этого уменьшим расстояние между пластинами конденсатора в 2 раза. Как изменится:

а) энергия, запасенная конденсатором;

б) заряд на обкладках конденсатора;

в) плотность энергии электрического поля конденсатора?

3.11. Диэлектрическая пластина шириной 2а с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, силовые линии которого перпендикулярны пластине.

а) изобразите на рисунке линии полей Е и D электрического поля;

б) постройте качественно графики зависимостей Е_х, D_х от х (ось х перпендикулярна пластине, вектор Е направлен вдоль оси х, точка х = 0 находится в середине пластины).

3.12. Диэлектрическая пластинка с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Линии поля Е образуют некоторый угол j с поверхностью пластины. Изобразите качественно линии полей Е и D в вакууме и в пластине. Постройте качественно графики зависимостей Е_x = f(x) и D_x = f(x).

3.13. Внутри плоской однородной диэлектрической пластины с e = 3 вектор напряженности однородного электрического поля составляет угол j с поверхностью пластины. Считая, что с одной стороны пластины вакуум, а с другой стороны диэлектрик с e = 2, изобразить качественно линии Е и D электрического поля в трех указанных средах. Построить качественно зависимости Е_x = f(x) и D_x = f(x). Ось ОХ перпендикулярна поверхностям пластины, а ее толщина d.

3.14. Плоский воздушный конденсатор опустили в воду так, что поверхность воды параллельна плоскостям пластин, а ее уровень расположен на расстоянии h от нижней пластины. Найти зависимость электроемкости конденсатора от величины h, если площадь пластины S, а расстояние между ними d.

(С = )

3.15. Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R с объемной плотностью заряда r. Определить зависимость вектора электрического смещения электрического поля от r. Построить качественно график D = f(r).

(D = (1/3)rr; D = (r/3)×(R³/r²))

Постоянный ток

Примеры решения задач

27. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика монотонно уменьшается от пластины 1 от значения до значения у пластины 2. Удельная электропроводность монотонно уменьшается от пластины 1 от значения Ом.^-1 м^-1 до значения Ом.^-1 м^-1 у пластины 2. Конденсатор включен в цепь с постоянной ЭДС, и в нем устанавливается постоянный электрический ток силой А, текущий через диэлектрик от стороны 1 конденсатора к стороне 2. Найти величину свободного заряда , возникшего в диэлектрике при протекании тока.

Дано: Ом.-1м-1 Ом.-1м-1 А	Решение Среда между пластинами конденсатора обладает как электропроводящими, так и диэлектрическими свойствами. Поэтому в решении используется закон Ома в дифференциальной форме: , (1) где – плотность тока; - напряженность электрического поля, и теорема Гаусса для диэлектрика. Направление линий тока вектора и направления векторов
– ?

электрического смещения и у пластины 1 и пластины 2 соответственно показаны на рисунке.

Ток через среду постоянный, линии тока перпендикулярны к пластинам конденсатора, следовательно, для величин силы тока у пластины 1 и пластины 2 можно записать

где - площадь пластины конденсатора. Это же соотношение с учетом закона Ома (1) принимает форму

(2)

Для использования теоремы Гаусса проведем гауссову поверхность в виде прямоугольного параллелепипеда (пунктирная линия на рисунке), так, чтобы внутри находился диэлектрик. По теореме Гаусса для диэлектрика, учитывая направление векторов , имеем:

(3)

Связь между вектором электрического смещения и напряженностью электрического поля, как известно имеет вид:

(4)

Из соотношений (2) – (4) для величины заряда следует

Кл.

Ответ: нКл.

28. В схеме, изображенной на рисунке В, В, В, Ом, Ом, Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Определить силы токов , , , текущих через сопротивления.

Дано: В В В Ом Ом Ом	Решение
– ? – ? – ?

Представленная в задаче схема постоянного тока, может быть рассчитана на основе законов Кирхгофа. Для применения законов Кирхгофа выделим два замкнутых контура АBCDА и AFЕBА. Зададим направление обхода этих замкнутых контуров по часовой стрелке, как показано на рисунке. Также будем рассматривать узел схемы А, в котором сходятся (или вытекают) токи , , .

По первому закону Кирхгофа для токов узла А следует уравнение:

(1)

В данном выражении учитывалось правило знаков: ток втекает в узел – положителен, ток вытекает из узла – отрицателен.

По второму закону Кирхгофа для контуров ABCDА и AFЕBА имеем соответственно:

(2)

. (3)

В выражениях (2) и (3) учитывалось правило знаков, определяемое выбранным направлением обхода контура. ЭДС положительна, если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС.

Подставляя известные численные значения сопротивлений участков цепи и ЭДС источников тока в уравнения (1) – (3), получим

(4)

Таким образом, получается система трех линейных уравнений с тремя искомыми неизвестными , , . Решение такой системы дается формулами Крамера:

, , , (5)

где – определитель системы (4); – определитель при первом неизвестном ; – определитель при втором неизвестном ; – определитель при третьем неизвестном .

По значениям коэффициентов системы уравнений (4) следует:

(6), (7)

(8), (9)

Из выражений (5) – (9) для величин сил токов получается

А, А, А.

Ответ: А; А; А.

29. Сила тока в проводнике убывает со временем по закону ( А, с^-1). Определить заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время с.

Дано: А с-1 с	Решение Величина силы тока связана с зарядом q, проходящим через поперечное сечение проводника, соотношением . (1) Следовательно, за бесконечно малый промежуток времени через поперечное сечение проводника пройдет заряд
– ?

(2)

Величина заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени , может быть найдена интегрированием выражения (2):

Кл.

Ответ: Кл.

30. В медном проводнике объемом см³ при прохождении по нему постоянного тока за время ,0 мин выделилось количество теплоты Дж. Найти напряжённость электрического поля в проводнике, плотность тока , скорость упорядоченного движения электронов . Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

Проводимость, плотность и молярная масса меди соответственно ,

Дано: 6,0 см3 = ,0×10-6 м3 мин = 60 с Дж Ом-1×м-1 Кг/м3 г/моль = 63,5×10-3 кг/моль	Решение а) для решения используем закон Ома в дифференциальной форме , (1) закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме (2) где – удельная электропроводность меди, – удельная тепловая мощность тока. Из формул (1) и (2) для напряженности электрического поля в проводнике следует:
а) – ? б) – ? в) - ?

В/м.

б) из выражения (1) для плотности тока имеем

А·м^-2.

в) скорость упорядоченного движения электронов и плотность тока связана соотношением

, (3)

где – заряд электрона; – концентрация свободных электронов. Учитывая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, для концентрации свободных электронов получается

, (4)

где – число Авогадро.

Из формул (3) и (4) для скорости упорядоченного движения электронов следует

м/c

Ответ: а) В/м , б) А· , в) м/c.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.16. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с проницаемостью e = 7 и удельным сопротивлением r = 100 ГОм×м. Емкость конденсатора С = 3000 пФ. Найти силу тока утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2000 В.

(I = 9,7×10^-7A)

3.17. В схеме, изображенной на рисунке, e₁ = 10 В, e₂ = 20 В, e₃ = 30 В, R₁ = 1,0 Ом, R₂ = 2,0 Ом, R₃ = 3,0 Ом, R₄ = 4,0 Ом, R₅ = 5,0 Ом, R₆ = 6,0 Ом, R₇ = 7,0 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы токов I₁, I₂, I₃.

(I₁ = -1,02 A, I₂ = 0,90 A, I₃ = -0,12 A)

3.18. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3,0 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U₀ = 2,0 B до U = 4,0 B в течение 20 с.

(Q = 20 Кл)

3.19. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени Dt = 2,0 с по линейному закону от I₀ = 0 до I_max = 6,0 A. Определить количество теплоты Q, выделившееся в этом проводнике за первую секунду.

(Q = 60 Дж)

3.20. Концентрация электронов проводимости в меди n = 1,0·10²⁹ м^-3. Считая условия нормальными, определить среднее время между двумя столкновениями электрона с решеткой (среднее время свободного пробега). Определить среднюю длину свободного пробега электрона. Удельное сопротивление меди r = 1,7×10^-8 Ом×м.

(l = 4,7×10^{-9 м})

3.21. По медному проводнику сечением 0,20 мм² течет ток. Определить, какая сила действует на отдельный электрон проводимости со стороны электрического поля, если объемная плотность энергии, выделяемая в проводнике, равна 9,0×10³ Дж/м³. Определить плотность и силу тока в проводнике.

F = 20×10^-22 H; j = 7,3×10⁵ A/м²; I = 0,15 A)

3.22. Два источника тока, соединенные одинаковыми полюсами, с ЭДС и и внутренними сопративлениями и включены параллельно сопративлению R = 2,0 Ом. Определите силу тока через это сопративление.

(I = 0,78 A)

Магнетизм

Примеры решения задач

31. Бесконечно длинный прямой проводник согнут под прямым углом, как показано на рис. 1. По проводнику течет ток А. Найти магнитную индукцию в точках М и N, если см.