Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности

Равномерное прямолинейное движение: Ускорение: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Скорость: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru = const; Перемещение: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru ; Координата: x = x0 + Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru t Равномерное движение по окружности: Ускорение: ε = 0; an =v2/R = ω2R = ωv: a = an Угловая скорость: ω =Δ φ /Δ t =2π ν= 2π /T; v = ωR; ω = ω0 +εt; Путь: s =Rφ ; Угол поворота: φ = 2πn; Период и частота: T=t/n; ν = n/t = T-1;
Равнопеременное прямолинейное движение: Тангенциальное ускорение: at=const Нормальное ускорение; an=0; Полное ускорение a=const; Скорость: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Средняя скорость: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru v Путь: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Координата: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Равнопеременное движение по окружности: Угловое ускорение: ε = const; Тангенциальное ускорение at = ε r; Нормальное ускорение: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Полное ускорение: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Угловая скорость: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Средняя угловая скорость: Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Угол поворота Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Пройденный путь: s = rφ; φ= 2πn

Пример 1.Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид х = А + В t + С t3, где А = 4 м, В = 2 м/с, С = - 0,5 м/с2. Для момента времени t1 = 2 с определить: 1) координату х1 точки; 2) мгновенную скорость V1; 3) мгновенное ускорение а1.

Решение. Найдем координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение t1:

х1 = А + В t1 + С t13; х1 = 4 м.

Мгновенную скорость V в произвольный момент времени t найдем, продифференцировав координату х по времени:

V = Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru = B + 3Ct2.

Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость:

V1 = B + 3Ct21; V1 = - 4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t1 = 2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты по времени:

a = Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru = 6Ct.

Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно:

a1 = 6Ct1; a1 = - 6 м/c2.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси.

Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru Пример 2.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой φ = 10 + 20 t - 2 t2 (рис. 1). Найдите по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t1 = 4 с.

Условие:

φ=10+20t-2t2;

R=0,1 м;

t1=4 c;

a - ? α - ?

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки определяется геометрической суммой тангенциального и нормального ускорения:

Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а t= εR; (2)

an = ω2R, (3)

где ω - угловая скорость тела; ε - его угловое ускорение; R - расстояние от оси вращения.

Подставляя выражения аt и аn в формулу (1) находим:

a = R Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru . (4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени

ω = Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru = 20 – 4t.

В момент времени t = 4 с угловая скорость ω = 4 с-1.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:

ε = Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru = - 4 c-2.

Подставляя найденные и заданные значения в формулу (4) получим:

a = 1,65 м/c2.

Направление полного ускорения можно определить, если найти углы, которые векторы ускорения составляют с касательной к траектории или нормалью к ней:

cos α = Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности - student2.ru . (5)

По формулам (2) и (3) найдем значения аt и an:

at = - 0,4 /c2; an = 1,6 /c2 .

Подставив эти значения и значения полного ускорения в формулу (5), получим:

cos α = 0,242; α = 760.

Наши рекомендации