Изопроцессы идеального газа
Уравнение первого закона термодинамики можно записать для равновесных процессов изменения его состояния в ином виде, используя выражения для теплоемкости однородного тела, откуда или с учетом молярной теплоемкости:
.
Тогда первый закон можно записать в виде:
Применим его к различным изопроцессам идеального газа.
рис.3
1. Изохорный процесс, .
На диаграмме это вертикальная прямая: 1 – 2 нагрев , а 1 - 3 охлаждение. Практически этот процесс проводят, изменяя температуру газа, находящегося в толстостенном сосуде с неизменным объемом. В этом процессе работа не совершается:
. Вся теплота идет на изменение его внутренней энергии.
,
(1), где
- молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из опытов известно, что
зависит от химического состава газа и его Т. Для не очень широкой области температур можно считать, что
=const.
При изохорном конечном нагреве газа от температуры Т1 до температуры Т2 изменение внутренней энергии равно
(2), и теплота, сообщенная системе:
(3)
Для идеального газа внутренняя энергия это энергия теплового движения молекул, непосредственно не зависящая от объема (расстояния между молекулами), как в реальных газах. При расширении и сжатии газа его будет изменяться только за счет изменения кинетической энергии теплового движения, т.е., за счет температуры. Таким образом, соотношения (1) и (2) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа, а не только изохорного. Внутренняя энергия газа зависит только от его массы, химического состава и температуры. Это подтверждается опытами Гей – Люссака и Джоуля.
Значит, для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:
(4)
2. Изобарный процесс, .
Он реализуется при нагревании газа в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление.
На рис. изображены процессы изобарного расширения газа при его нагревании (1-2) и изобарного сжатия при его охлаждении (2-3).
Элементарная теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:
(5), где
- молярная теплоемкость при постоянном давлении.
Элементарная работа, совершенная идеальным газом при этом:
(6), учитывая уравнение Менделеева –Клапейрона.
Из последнего уравнения можно выяснить смысл :
, т.е. универсальная газовая постоянная численно равна работе, совершенной одним молем идеального газа при его изобарном нагревании на 1К.
Подставим в первый закон выражения для и
и найдем связь между
и
:
, откуда:
(7) – уравнение Майера для молярных теплоемкостей. Отсюда видно, что при изобарном нагревании газа к нему должна быть подведена большая теплота, чем для такого же изохорного нагревания, разность их равна работе, совершенной газом при изобарном расширении.
Работа газа при изобарном расширении при переходе из состояния 1 в состояние 2 , рис.
(8).
Если постоянная, то теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:
(9), а изменение внутренней энергии в процессе:
(10).
Рис.4
3. Изотермический процесс, Т=const.
Может происходить в условиях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной (конечной) разности температур. Для этого теплоемкость внешней среды должна быть велика и процесс расширения или сжатия должен идти весьма медленно (для квазиравновесия). Изотермическими являются процессы кипения, конденсации, плавления и кристаллизации химически чистых веществ, происходящих при постоянном давлении.
Для идеального газа в этом процессе выполняется закон Бойля – Мариотта: , графиком которого является гипербола, рис. . Внутренняя энергия газа постоянна в процессе, значит:
(11) , а
,
т.е., вся теплота, сообщенная системе, идет на совершение газом работы против внешних сил:
(12)
При изотермическом расширении , к нему подводится теплота
, газ совершает положительную работу,
, рис. , процесс 1-2. При сжатии газа, процесс 1-3, работа, совершенная газом отрицательна, положительную работу при этом выполняют внешние силы, От газа отводится теплота
.
Теплоемкость газа в изотермическом процессе ± µ, т.к.,
.
рис.5
3. Адиабатный процесс, .
Это процесс, при котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Практически процесс производят при достаточно быстром расширении или сжатии газа.
Тогда из первого закона следует:
- система совершает работу за счет убыли внутренней энергии. Или, записывая более подробно, получим:
(13)
Здесь , т.к.,
- теплоемкость при адиабатном процессе.
Из (13) видно, что (14)
При расширении и
, газ охлаждается, при адиабатном сжатии
и
, газ нагревается.
Связь между параметрами состояния адиабатного процесса можно найти, взяв дифференциалы от и от уравнения Менделеева- Клапейрона:
(15) , отсюда можно выразить
, подставить в уравнение (14) и получить:
. Заменив здесь
из уравнения Майера, получим после простых преобразований:
, далее разделим переменные, поделив уравнение на
и обозначим
- показатель адиабаты или постоянная Пуассона.
. После интегрирования
или:
Это есть уравнение адиабаты или уравнение Пуассона. С помощью уравнения Менделеева – Клапейрона его можно записать через другие параметры:
или
.
Из рис. видно, что адиабата идет круче, чем изотерма, поскольку для любого идеального газа. Это объясняется тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления происходит не только из-за уменьшения объема, как в изотермическом процессе, но и из-за возрастания температуры. При адиабатном расширении газа его температура уменьшается и давление падает сильнее, чем при соответствующем изотермическом расширении.
Работа в адиабатном (конечном) процессе 1-2 ( на рис. площадь под кривой)
рис.6
Политропный процесс
Он является обобщением рассмотренных выше процессов изменения состояния газа и описывается уравнением:
, здесь
- постоянная безразмерная величина –показатель политропы. Различным изопроцессам соответствуют разные
:
=0 – изобарный процесс:
;
=1 – изотермический процесс:
;
=
- адиабатный процесс:
;
= ± µ - изохорный процесс.
Статистическая физика