Изопроцессы идеального газа

Уравнение первого закона термодинамики можно записать для равновесных процессов изменения его состояния в ином виде, используя выражения для теплоемкости однородного тела, откуда или с учетом молярной теплоемкости: .

Тогда первый закон можно записать в виде:

Применим его к различным изопроцессам идеального газа.

рис.3

1. Изохорный процесс, .

На диаграмме это вертикальная прямая: 1 – 2 нагрев , а 1 - 3 охлаждение. Практически этот процесс проводят, изменяя температуру газа, находящегося в толстостенном сосуде с неизменным объемом. В этом процессе работа не совершается: . Вся теплота идет на изменение его внутренней энергии. ,

(1), где - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из опытов известно, что зависит от химического состава газа и его Т. Для не очень широкой области температур можно считать, что =const.

При изохорном конечном нагреве газа от температуры Т₁ до температуры Т₂ изменение внутренней энергии равно

(2), и теплота, сообщенная системе:

(3)

Для идеального газа внутренняя энергия это энергия теплового движения молекул, непосредственно не зависящая от объема (расстояния между молекулами), как в реальных газах. При расширении и сжатии газа его будет изменяться только за счет изменения кинетической энергии теплового движения, т.е., за счет температуры. Таким образом, соотношения (1) и (2) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа, а не только изохорного. Внутренняя энергия газа зависит только от его массы, химического состава и температуры. Это подтверждается опытами Гей – Люссака и Джоуля.

Значит, для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

(4)

2. Изобарный процесс, .

Он реализуется при нагревании газа в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление.

На рис. изображены процессы изобарного расширения газа при его нагревании (1-2) и изобарного сжатия при его охлаждении (2-3).

Элементарная теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(5), где - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Элементарная работа, совершенная идеальным газом при этом:

(6), учитывая уравнение Менделеева –Клапейрона.

Из последнего уравнения можно выяснить смысл :

, т.е. универсальная газовая постоянная численно равна работе, совершенной одним молем идеального газа при его изобарном нагревании на 1К.

Подставим в первый закон выражения для и и найдем связь между и :

, откуда: (7) – уравнение Майера для молярных теплоемкостей. Отсюда видно, что при изобарном нагревании газа к нему должна быть подведена большая теплота, чем для такого же изохорного нагревания, разность их равна работе, совершенной газом при изобарном расширении.

Работа газа при изобарном расширении при переходе из состояния 1 в состояние 2 , рис.

(8).

Если постоянная, то теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(9), а изменение внутренней энергии в процессе:

(10).

Рис.4

3. Изотермический процесс, Т=const.

Может происходить в условиях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной (конечной) разности температур. Для этого теплоемкость внешней среды должна быть велика и процесс расширения или сжатия должен идти весьма медленно (для квазиравновесия). Изотермическими являются процессы кипения, конденсации, плавления и кристаллизации химически чистых веществ, происходящих при постоянном давлении.

Для идеального газа в этом процессе выполняется закон Бойля – Мариотта: , графиком которого является гипербола, рис. . Внутренняя энергия газа постоянна в процессе, значит:

(11) , а ,

т.е., вся теплота, сообщенная системе, идет на совершение газом работы против внешних сил:

(12)

При изотермическом расширении , к нему подводится теплота , газ совершает положительную работу, , рис. , процесс 1-2. При сжатии газа, процесс 1-3, работа, совершенная газом отрицательна, положительную работу при этом выполняют внешние силы, От газа отводится теплота .

Теплоемкость газа в изотермическом процессе ± µ, т.к., . рис.5

3. Адиабатный процесс, .

Это процесс, при котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Практически процесс производят при достаточно быстром расширении или сжатии газа.

Тогда из первого закона следует:

- система совершает работу за счет убыли внутренней энергии. Или, записывая более подробно, получим:

(13)

Здесь , т.к., - теплоемкость при адиабатном процессе.

Из (13) видно, что (14)

При расширении и , газ охлаждается, при адиабатном сжатии и , газ нагревается.

Связь между параметрами состояния адиабатного процесса можно найти, взяв дифференциалы от и от уравнения Менделеева- Клапейрона:

(15) , отсюда можно выразить , подставить в уравнение (14) и получить: . Заменив здесь из уравнения Майера, получим после простых преобразований:

, далее разделим переменные, поделив уравнение на и обозначим - показатель адиабаты или постоянная Пуассона.

. После интегрирования или:

Это есть уравнение адиабаты или уравнение Пуассона. С помощью уравнения Менделеева – Клапейрона его можно записать через другие параметры:

или .

Из рис. видно, что адиабата идет круче, чем изотерма, поскольку для любого идеального газа. Это объясняется тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления происходит не только из-за уменьшения объема, как в изотермическом процессе, но и из-за возрастания температуры. При адиабатном расширении газа его температура уменьшается и давление падает сильнее, чем при соответствующем изотермическом расширении.

Работа в адиабатном (конечном) процессе 1-2 ( на рис. площадь под кривой)

рис.6

Политропный процесс

Он является обобщением рассмотренных выше процессов изменения состояния газа и описывается уравнением:

, здесь - постоянная безразмерная величина –показатель политропы. Различным изопроцессам соответствуют разные :

=0 – изобарный процесс: ;

=1 – изотермический процесс: ;

= - адиабатный процесс: ;

= ± µ - изохорный процесс.

Статистическая физика