Рівняння першого закону термодинаміки для потоку
Дотепер ми розглядали тільки системи, речовина в який не переміщалася (як ціле) у просторі; однак варто підкреслити, що перший закон ТТД має загальний характер і справедливий для будь-яких систем – і нерухомих і тих, які рухаються.
Розглянемо плин рідини або газу в каналі довільної форми. Розглянемо лише одномірні стаціонарні потоки, у яких параметри залежать тільки від однієї координати, яка збігається з напрямком вектора швидкості, і не залежать від часу.
Умова нерозривності плину в таких потоках полягає в однаковості масової витрати m робочого тіла в будь-якому перетині
![]() | (14.1) |
Розглянемо термодинамічну систему, представлену на (мал.14.1).
Тут індекси I і II відносимо до двох перетинів потоку. Проаналізуємо, з чого складається для потоку фігу- руюча в цьому рівнянні величина роботи, яка вироблена потоком газу, який рухається.По трубопроводу I робоче тіло з параметрами Т1, p1, v1 подається з швидкістю c1 у темпомеханічний агрегат 2 (двигун, турбіна,
Мал.14.1 парогенератор, компресор і т.д.). Кожен 1кг робочого тіла одержує від зовнішнього джерела теплоту q і робить технічну роботу Lтехн, наприклад приводячи в рух ротор турбіни, а потім віддаляється через вихлопний патрубок 3 зі швидкістю c2, маючи параметри Т2, p2, v2. (Корисну роботу потоку, яку здійснює він, за допомогою рухливих елементів агрегату над зовнішнім об'єктом називають технічною роботою.
Виділимо об'єм робочого тіла між перетинами I і II, замінимо дію відкинутих частин потоку відповідними силами.
Визначимо роботу, яку здійснює поток. Для того, щоб ввести в ділянку, яка розглядається, через перетин I в одиницю часу порцію газу (рідини) масою m, потрібно затратити деяку роботу, яка витрачається на те, щоб виштовхнути з розглянутої ділянки каналу таку ж порцію газу і звільнити тим самим місце для нової порції газу, що надходить. Оскільки р1=const, кожен кг робочого тіла може зайняти об'єм V1 лише при витраті роботи, рівної
![]() | (14.2) |
Підкреслимо ще раз, що - це робота вштовхування, яку потрібно підвести до розглянутої порції газу m, щоб «вштовхнути» її в розглянуту ділянку каналу через перетин F1 (цьому протидіє сила тиску газу, що уже знаходиться в розглянутій ділянці каналу, яка по абсолютній величині теж дорівнює р1, але спрямована назустріч потоку – вона перешкоджає руху нашого гіпотетичного поршня).
Для того, щоб вийти в трубопровід 3, робоче тіло повинне виштовхнути з нього таку ж кількість робочого тіла, яке раніше знаходилося в ньому, переборовши тиск р2, тобто кожен кг, займаючи об'єм V2, повинний зробити визначену роботу виштовхування
![]() | (14.3) |
Справді, оскільки через перетин I у розглянуту ділянку каналу уже «вштовхнута» порція газу масою m, відповідно до принципу нерозривності очевидно, що така ж порція газу повинна бути «виштовхнута» з розглянутої ділянки каналу через перетин ІІ. Якої-небудь додаткової роботи для проштовхування газу через перетин ІІ затрачати не потрібно – через перетин ІІ газ проштовхується за рахунок тієї роботи, яка витрачена на вштовхування газу через перетин 1. Однак газ, який виходить через перетин ІІ, у свою чергу робить роботу, яка витрачається на проштовхування газу, який заповнює канал за перетином ІІ. Саме ця робота і називається роботою виштовхування.
З 14.1 випливає, що при протіканні газу з витратою m через ділянку каналу між довільно обраними перетинами I і II за одиницю часу відбувається робота, яка дорівнює алгебраїчній сумі роботи , яку робить поршень 2, і роботи
, яка виробляється над поршнем (ця робота зветься роботою проштовхування)
![]() | (14.4) |
Робота проштовхування – перша частина роботи, яку робить потік.
Далі, якщо швидкість потоку в перетині 11 (С2) відрізняється від швидкості в перетині 1 (c1), то частина роботи розширення буде витрачена на збільшення кінетичної енергії робочого тіла в потоці, рівну
![]() | (14.5) |
Це – друга складова частина роботи, яка здійснюється потоком.
Якщо перетини I і II розташовані на різній висоті (відповідно Z1 і Z2), то повинна бути витрачена робота для того, щоб підняти розглянуту порцію газу Z1 і Z2. Ця робота дорівнює зміні потенційної енергії порції газу масою m/
![]() | (14.6) |
Це – третя складова частина роботи, яка здійснюється потоком.
У загальному випадку потік може також робити інші види роботи на шляху між перетинами каналу I і II, наприклад обертати колесо турбіни, або, якщо це потік електропровідної рідини в поперечному магнітному полі, віддавати електроенергію в зовнішній ланцюг унаслідок магнітодинамічного ефекту і т.д. Усі ці види роботи, що звуться технічноюроботою, позначимо Технічна робота може не тільки відбиратися від потоку, але підводитися до потоку; можна привести приклади, зворотні названим: потік може нагнітатися відцентровим насосом, перекачуватися електромагнітним насосом і т.д.
Технічна робота є четвертою складовою частиною роботи, яку робить потік.
Нарешті, п’ятою складовою частиною роботи потоку є робота, яка затрачується на подолання сил тертя на стінках каналу. Позначимо цю роботу .
Отже, робота, що робить потік газу, який рухається, (рідини), у загальному випадку записується таким чином:
![]() | (14.7) |
чи
![]() | (14.8) |
Підставляючи ці співвідношення (14.7) і (14.8) у рівняння I-го закону термодинаміки, отримаємо:
![]() | (14.9) |
чи
![]() | (14.10) |
У диференціальній формі це рівняння запишеться у виді
dq = du + d(pv) + cdc + gdz + dlтех + dlтр, | (14.11) |
З обліком того, що h = u + p v, отримаємо
![]() | (14.12) |
і
dq = dh + cdc + gdz + dlтех + dlтр, | (14.13) |
Рівняння (14.12) і (14.13) являють собою запис першого закону термодинаміки для потоку.
Порівняємо тепер диференціальне рівняння I-го закону ТТД, записане в самому загальному виді для довільної системи, з окремим випадком цього рівняння для потоку. Перше з цих рівнянь, як відомо, має вид
dq = du + pdv, | (14.14) |
друге –
dq = du + d(pv) + cdc + gdz + dlтех + dlтр, | (14.15) |
Варто мати на увазі, що рівняння (14.14) написано для випадку, коли єдиним видом роботи є робота розширення.
Далі важливо помітити, що у випадку плину з тертям робота потоку, затрачаючись на подолання тертя, цілком перетворюється в теплоту, сприймаєму потоком. Тому величина q, у лівій частині співвідношень (14.14) і (14.15), при плині з тертям являє собою суму теплоти, яка підводиться до потоку ззовні (позначимо її qзов), і теплоти тертя qтр:
q = qзов + qтр, | (14.16) |
Тоді рівняння (14.14) і (14.15) можна переписати в наступному виді:
dqзов + dqтр = du + pdv, | (14.17) |
dqзов + dqтр = du + d(pv) + cdc + gdz + dlтехн + dlтр | (14.18) |
Тому що теплота тертя дорівнює роботі тертя dqтр=dlтр, то ці величини у виразі (14.18) взаємно знищуються і воно здобуває вид:
dqзов = du + d(pv) + cdc + gdz + dlтехн , | (14.19) |
чи, що те ж саме
dqзов = dh + cdc + gdz + dlтехн , | (14.20) |
У рівнянні (14.17) величина dqтр зберігається, тому що вона є лише однією зі складових частин роботи розширення pdv.
По своїй суті рівняння (14.14) і (14.15) ідентичні – вони виражають перший закон термодинаміки. На цій підставі можна дорівняти праві частини цих рівнянь і після перетворень маємо:
pdv = d(pv) + cdc + gdz + dlтехн + dlтр, | (14.21) |
Це співвідношення показує, що робота, яка витрачається на проштовхування потоку, d(pv), на зміну кінетичної енергії потоку, cdc, на зміну потенційної енергії потоку, gdz, на подолання сил тертя, dlтр, і технічна робота dlтехн відбуваються за рахунок роботи розширення газу (чи рідини), що рухається в потоці, pdv.
Іншими словами вираз першого закону термодинаміки для потоку можна сформулювати в таким чином: теплота підведена до потоку робочого тіла ззовні, витрачається на збільшення ентальпії робочого тіла, виробництво технічної роботи і збільшення кінетичної і потенційної енергії потоку.
Сопла і дифузори
Сопла і дифузори – спеціально спрофільовані канали, призначені для прискорення або гальмування потоку. Технічна робота в них не відбувається, тому за умови горизонтального витікання перший закон ТТД для потоку можна записати у виді
![]() | (14.22) |
З іншого боку, до об'єму робочого тіла, що рухається в потоці, застосовний також і вираз першого закону ТТД для закритої системи:
![]() | (14.23) |
Дорівнявши праві частини двох останніх рівнянь, одержимо:
![]() | (14.24) |
З (14.24) видно, що dc і dp завжди мають протилежні знаки. Отже, збільшення швидкості плину в каналі (dc >0) можливо лише при зменшенні тиску в ньому (dp<0). Навпаки, гальмування потоку (dc<0) супроводжується збільшенням тиску (dp >0).
Канали, у яких відбувається розгін газу, звуться соплами. Канали, призначені для гальмування потоку, звуться дифузорами.
Тому що довжина сопла і дифузора невелика, а швидкість плину середовища в них досить висока, то теплообмін між стінками каналу ісередовищем при малому часі їх проходження настільки незначний, що в більшості випадків їм можна зневажити і вважати процес витікання адіабатним ( . При цьому рівняння першого закону ТТД для потоку приймає вид:
![]() | (14.25) |
Отже, прискорення адіабатного потоку відбувається за рахунок зменшення ентальпії, а гальмування потоку викликає збільшення ентальпії.