Экспериментальное изучение радиоактивных флуктуаций

Применение счетчиков для изучения законов радиоактивного распада

Для изучения радиоактивного распада применяют счётчики Гейгера-Мюллера, пропорциональные счётчики, сцинтилляционные счётчики и др.[1,4,5]. Число отсчётов счетчика за равные промежутки времени пропорционально активности λN препарата. В силу случайности характера радиоактивного распада, определяемого формулами ( 1.13), (1.18) и (1.19), случайным оказывается и число импульсов, зарегистрированных за определенный интервал времени. Образовавшиеся при распаде α-,β-частицы и γ–кванты ионизируют газ, которым наполнен счетчик, или вызывают вспышки свечения в кристалле сцинтилляционного счетчика. В электронной части образуются импульсы напряжения, которые регистрируются установкой. Докажем, что вероятность появления импульсов во временном интервале от t до t+dt также определяется распределением Пуассона. При практических измерениях справедливы два приближения:

1.Число регистрируемых частиц несравненно меньше полного числа радиоактивных ядер ( n<<N).

2.Время измерения мало по сравнению с периодом полураспада ( λt<<1).

Рассмотрим счетчик, регистрирующий ионизирующие частицы, попавшие в его объем. Найдем вероятность того, что при интенсивности n излучения препарата (т.е. отношения к единице площади числа отсчетов счетчика в секунду, усредненного за очень большой отрезок времени) счетчик за время измерения сработает n раз. Будем для простоты считать, что счетчик обладает единичной площадью. Окончательные формулы от этого предположения не зависят.

При вычислении вероятностей представим себе очень большое число N₁ совершенно одинаковых одновременно работающих счетчиков. За выбранный интервал времени некоторая часть их сработает n раз. Доля, составляемая этими счетчиками, по отношению к полному числу счетчиков и равна вероятности того, что через счетчик за время измерения пройдет n частиц. Через все счетчики в секунду в среднем проходит N₁nчастиц, а за небольшое время dt пройдет N₁ndt частиц. Если dt достаточно мало, то ни через один из счетчиков за это время не пройдет двух частиц, и наши счетчики можно разбить на два класса: те, через которые за dt прошла частица, и те, через которые не прошла. Последние составляют, конечно, огромное большинство. Число счетчиков, через которые прошла частица, равно, очевидно, числу сосчитанных частиц, т.е. приблизительно N₁ndt , а их доля по отношению к полному числу счетчиков составляет N₁ndt /N₁=ndt. Вероятность того, что за время dt через отдельный счетчик пройдет частица, равна, следовательно, ndt. Это утверждение справедливо только при очень малом отрезке dt.

Вычислим вероятность P₀(t) того, что за время t через счетчик не пройдет ни одной частицы. По определению число таких счетчиков в момент t составляет N₁P₀(t), а в момент t+ dt равно N₁P₀(t+dt), причем N₁P₀(t+dt)< N₁P₀(t), так как за время dt число таких счетчиков убавится на N₁P₀(t)ndt, поэтому

N₁P₀(t+dt) = N₁P₀(t) – N₁P₀(t)ndt,

или

P₀(t+dt) - P₀(t) = -P₀(t)ndt.

Отсюда получим уравнение

dP₀/dt = -nP₀,

интегрируя которое, получим

P₀(t) = е^-nt. (2.1)

При интегрировании было принято во внимание, что в начальный момент времени вероятность найти счетчик, не сработавший ни разу, равна, конечно, единице.

Вычислим теперь P_n(t+dt) – вероятность того, что за время t+dt через отдельный счетчик пройдет ровно n частиц. Эти счетчики делятся на две группы. К первой принадлежат те, через которые все n частиц прошли за время t, а за время dt не прошло ни одной. Ко второй группе принадлежат счетчики, чарез которые за время t прошла n-1 частица, а последняя частица прошла за время dt. Число первых счетчиков равно N₁P_n(t)(1-ndt), а число вторых составляет N₁P_n-1(t)ndt. Каждое из этих выражений состоит из двух сомножителей. Первый из них определяет вероятность нужного числа срабатываний за время t, а второй – вероятность несрабатывания или срабатывания за время dt. Имеем, следовательно,

N₁Pn(t+dt)= N₁P_n(t)(1-ndt)+ N₁P_n-1(t)ndt.

Перенесем первое слагаемое справа в левую часть, разделим обе части на N₁dt и, перейдя к пределу при dt®0, получим

dP_n /dt + nP_n= nP_n-1.

Последовательно применяя полученную рекурентную формулу к n=1, n=2 и т. д. с помощью (2.1) найдем

(2.2)

Заметим теперь, что nt, которое мы обозначим через n_0, равно среднему числу частиц, проходящих через счетчик за время t. Формула (2.2) примет вид

(2.3)

Эта формула является окончательной и носит название распределения Пуассона с математическим ожиданием п₀. Она в нашем случае определяет вероятность того, что при среднем числе срабатываний n₀ (это число, вообще говоря, не является целым) произойдет именно n срабатываний (n – целое число).

Поскольку с помощью счетчиков регистрируется число импульсов, пропорциональное числу распавшихся ядер за определенный интервал времени, то не удивительно, что характер распределения импульсов такой же, а формулы (1.9) и (2.3) определяют пуассоновский характер распределения.

Из всех характеристик работы счетчика осталась одна – среднее число срабатываний за время измерения, которое можно выбрать произвольно. Площадь поперечного сечения счетчика, которую мы для простоты положили равной единице, также не входит в окончательный результат.

Рассмотрим некоторые свойства формулы (2.3). Вычислим, прежде всего, вероятность найти какое угодно значение n:

Этот результат является очевидным, т.к. мы вычислили вероятность достоверного события.

Хоть какое-нибудь значение n, конечно, всегда будет найдено на опыте.

Для дискретного распределения среднее значение n вычисляется по формуле (1.12)

(2.4)

где s=n-1 [2,3]. Как и следовало ожидать, среднее число импульсов соответствует максимуму в распределении P_n(n₀). Сравните этот результат с формулой (1.13). Было уже доказано [см. формулы (1.15) – (1.17)] а также [6], что дисперсия

(2.5)

а стандартная (среднеквадратичная) ошибка (СКО) по определению

(2.6)

Если в некотором интервале t число импульсов п подсчитывается один раз, то с вероятностью, составляющей »70%, можно утверждать, что среднее значение n₀ находится в интервале от до [5].

Истинное среднее значение измеряемой величины неизвестно, поэтому по этому в формулу для определения стандартной ошибки отдельного измерения приходится подставлять не истинное среднее значение п₀, а измеренное значение п

, (2.7)

а результат определения среднего значения записывать так [5]

. (2.8)

Обычно пользуются понятием скорости счета и определяют число импульсов в минуту. Если измерение проводят t минут (время измеряется без погрешности),то, поделив (2.7 на время и обозначив скорость счета буквой J , получим

. (2.8)

Среднюю квадратическую ошибку можно уменьшить, проведя серию измерений числа импульсов за интервал времени t , получив выборку из К значений. К равно количеству попыток измерения скорости счета. Методом максимального правдоподобия [4] доказано, что

, (2.9)

дисперсия уменьшится в К раз, а результат следует записывать в виде

. (2.10)

Ошибка определения наиболее вероятной (средней) скорости счета уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа К измерений.

Если некоторая величина y является функцией нескольких независимых переменных y=y(x₁,x₂,…,x_m), определяемых с погрешностями Dx₁,Dx₂,…,Dx_m, то ошибку зависимой переменной находят по формуле [5]

. (2.11)

В предположении идеальности измерения времени без учета фона скорость счета импульсов определяется по формуле J_A=n/t и в соответствии с (2.11) при относительно малых Dn имеем

. (2.12)

Относительная ошибка равна

. (2.13)

Как видно, эта ошибка уменьшается обратно пропорционально корню квадратному от времени, в течение которого определялась скорость счета.

При измерениях J_A часто необходимо учитывать фон. Регистрируется суммарное воздействие на счетчик фона и радиоактивного препарата и только фона J_A+Ф и J_Ф соответственно. Скорость счета от препарата представляет собой разность J_А+Ф-J_Ф, поэтому [5]

. (2.14)

При выполнении измерений возникает задача наилучшего распределения некоторого заданного времени T=t_А+Ф+t_Ф между t_А+Ф и t_Ф для того, чтобы ошибка DJ_A была минимальной, то-есть

=0.

Отсюда имеем

,

или

. (2.15)

С учетом фона относительную ошибку измерения скорости счета при измерении активности препарата определяют по формуле

(2.16)

Откуда

. (2.17)