Закон радіоактивного розпаду

VI. атомна і ядерна фізика

Атом водню в теорії бора

Основні формули

1. Момент імпульсу елект­рона на орбіті

де – маса електрона; un– швид­кість на -й орбіті; – раді­ус -ї орбіти; – стала Планка; – головне квантове число.

2. Енергія фотона, що ви­промінюється атомом водню при переході з одного стаціонарного стану в інший

де w – колова частота випромі­нювання; i – номери орбіт .

3. Частоти хвиль, що відпо­відають лініям водневого спектра

де – швидкість поширення світ­ла у вакуумі; – стала Рідберга.

Приклад розв'язання задачі

Показати, що частота світла, що випромінюється при переході електрона з -ї на -у орбі­ту при наближа­ється до частоти обертання електрона нав­коло ядра.

Розв'язання

При переході електрона з -ї орбіти на -у випро­мінюється світ­ло частотою

де – стала Планка; , – енергії електрона в атомі на -й і -й орбітах.

Оскільки енергія електрона

то

де – радіус -ї орбіти електрона.

При знаходимо:

Момент кількості руху елек­трона на -й орбіті задо­вольняє рівність:

Звідси, враховуючи, що

отримуємо, що

Знайдемо відношення частот:

Задачі контрольної роботи

37.1. Швидкість електрона, що перебуває на третій борівській орбіті атома водню, Знайти радіус цієї орбіти.

37.2. Незбуджений атом водню поглинає квант випромінювання з довжиною хвилі Знайти, користуючись теорією Бора, радіус електронної орбіти збудженого атома водню.

37.3. Обчислити за теорією Бора період обертання електрона в атомі водню, що знаходиться у збудженому стані, який визначається головним квантовим числом

37.4. Знайти зміну енергії електрона в атомі водню при випро­мінюванні атомом фотона з частотою

37.5. Електрон в атомі водню знаходиться на третьому енерге­тичному рівні. Визначити кінетичну і потенціальну енергію елект­рона.

37.6. На скільки зміниться кінетична енергія електрона в атомі водню при випромінюванні атомом фотона з довжиною хвилі ?

37.7. Знайти найбільшу довжину хвилі в ультрафіолетовій області спектра водню. Яку найменшу швидкість повинні мати електрони, щоб при збудженні атомів водню ударами електронів з'явилась ця лінія?

37.8. Знайти найменшу і найбільшу довжини хвиль спектральних ліній водню у видимій області спектра.

37.9. Радіус борівської орбіти збудженого атома водню Яке квантове число відповідає орбіті таких розмірів?

37.10. В однозарядженому іоні літію електрон перейшов з четвер­того енергетичного рівня на другий. Визначити довжину хвилі випромі­нювання, що випущена таким іоном.

Хвилі де бройля

Основні формули

1. Довжина хвилі де Бройля для мікрочастинки з імпульсом

де – стала Планка.

Приклад розв'язання задачі

Знайти довжину хвилі де Бройля для атома водню, що руха­ється при температурі з найімовірнішою швид­кістю.

Розв'язання

Довжина хвилі де Бройля виз­начається формулою

де – стала Планка; – маса атома водню, а u – швидкість ру­ху атома.

За умовою

де – стала Больцмана.

Отже,

Підставимо числові значення:

Задачі контрольної роботи

38.1. Кінетична енергія протона дорівнює його енергії спокою. Обчислити довжину хвилі де Бройля для такого протона.

38.2. Визначити кінетичну енергію протона і електрона, для яких довжина хвилі де Бройля

38.3. Яку прискорювальну різницю потенціалів повинен пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля була ?

38.4. Протон має кінетичну енергію, що дорівнює енергії спокою. У скільки разів зміниться довжина хвилі де Бройля протона, якщо його кінетична енергія збільшиться вдвічі?

38.5. Заряджена частинка, прискорена різницею потенціалів має довжину хвилі де Бройля, яка дорівнює Знайти масу цієї частинки, якщо відомо, що її заряд числово дорівнює зарядові електрона.

38.6. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, що знахо­диться на другій орбіті атома водню.

38.7. Електрон рухається по колу радіусом в одно­рідному магнітному полі з індукцією Визначити дов­жину хвилі де Бройля електрона.

38.8. Знайти довжину хвилі де Бройля для молекули кисню, що рухається із середньою квадратичною швидкістю при температурі

38.9. Обчислити довжину хвилі де Бройля для кулі масою що рухається з швидкістю м/с.

38.10. Протон має кінетичну енергію Визначити додаткову енергію, яку необхідно йому надати для того, щоб довжина хвилі де Бройля зменшилась втричі.

закон радіоактивного розпаду

Основні формули

1. Основний закон радіоак­тивного розпаду

де – кількість ядер в почат­ковий момент часу; – кількість атомів, які не розпалися на мо­мент часу ; l – стала радіо­активного розпаду.

2. Кількість атомів, що роз­палися за час ,

3. Період піврозпаду

4. Середній час життя радіо­активного ядра

5. Кількість атомів, що міс­тяться в радіоактивному ізотопі,

де – стала Авогадро.

6. Активність радіоактивного ізотопу

7. Активність ізотопу в по­чатковий момент часу

8. Закон зміни активності ізо­топу з часом

Приклад розв'язання задачі

Для визначення періоду пів­розпаду радіоактивної речовини використали лічильник імпульсів. Протягом часу зафік­совано імпульсів, а че­рез від першого вимірю­вання – імпульси на хви­ли­ну. Визначити сталу радіо­ак­тивного розпаду і період півроз­паду ізотопу.

Розв'язання

Кількість імпульсів , заре­єс­трованих за час , пропор­ційна до кількості атомів , що розпа­лися. При першому вимі­рюванні

де – кількість радіоактивних ато­мів на момент початку від­ліку; l – стала розпаду; – кое­фіцієнт пропорційності (постій­ний для даного приладу й даного розташу­вання приладів відносно радіо­активного препарату).

де – кількість радіоактивних атомів на момент початку відліку.

і зв'язані між собою спів­відношенням

Тоді

Прологарифмуємо це рівнян­ня

звідси

Підставимо числові значення величин

Період піврозпаду

i

Задачі контрольної роботи

39.1. Знайти період піврозпаду радіоактивного ізотопу, якщо його активність за час діб зменшилась на порівняно з почат­ковою.

39.2. За час добі активність ізотопу зменшилась від до Визначити період піврозпаду цього нукліда.

39.3. На скільки відсотків зменшиться активність ізотопу іридію за час діб? Період піврозпаду іридію діб.

39.4. За час діб розпалось початкової кількості ядер радіоактивного ізотопу. Визначити період піврозпаду.

39.5. Визначити кількість ядер, що розпадаються протягом часу діб у радіоактивному ізотопі фосфору масою Період піврозпаду фосфору доби.

39.6. З кожного мільйона атомів радіоактивного ізотопу за розпадається атомів. Визначити період піврозпаду.

39.7. Знайти сталу розпаду радона , якщо відомо, що кіль­кість атомів радона зменшується за час добі на . Період піврозпаду радону доби.

39.8. Деякий радіоактивний ізотоп має сталу розпаду Через який час розпадається початкової маси атомів?

39.9. За один рік початкова кількість радіоактивного ізотопу зменшилась втричі. У скільки разів вона зменшиться за два роки?

39.10. Визначити початкову активність радіоактивного препарату магнію масою , а також його активність через час год.

Енергія зв’язку ядер

Основні формули

1. Енергія зв’язку ядра

,

де – швидкість світла у ва­куумі.

Якщо енергія виражена в мега­електрон-вольтах (МеВ), а маса – в атомних одиницях маси (а.о.м.), то .

2. Питома енергія зв’язку

,

де – масове число.

3. Дефект маси атомного ядра

де – зарядове число, , , – маси протона і нейтрона, і – маси ядра і атома ізотопу.

Приклад розв'язання задачі

Яку енергію (в МеВ) треба витратити, щоб розщепити ядро та віддалити його складові частини на таку відстань, щоб си­лою їх взаємодій можна було знехтувати, а їх кінетична енергія стала дорівнювати нулю?

Розв’язання

Енергія зв’язку числово до­рівнює роботі, яку необхідно виконати для розщеплення ядра

на нуклони без надання їм кіне­тичної енергії.

Енергія зв’язку атомного ядра

,

де – дефект маси атомного ядра :

.

Підставимо числові зна­чен­ня мас:

Задачі контрольної роботи

40.1. Яку найменшу енергію (в МеВ) потрібно витратити, щоб ви­далити нейтрон з ядра ?

40.2. Визначити енергію , яку треба витратити для відривання нейтрона від ядра .

40.3. Із протонів і нейтронів утворюються ядра гелію масою Визначити, яка енергія виділяється при цьому.

40.4. Визначити найменшу енергію , яка необхідна для роз­ділення ядра вуглецю на три -частинки.

40.5. При відриванні нейтрона від ядра гелію утворюється ядро . Визначити енергію зв’язку , яку необхідно для цього за­тратити.

40.6. Знайти найменшу енергію зв’язку , яку треба затратити для відривання одного протона від ядра азоту .

40.7. Яку найменшу енергію треба затратити, щоб розділити ядро гелію на дві однакові частини?

40.8. Енергія зв’язку ядра, що складається з трьох протонів і чотирьох нейтронів, дорівнює Визначити, масу нейт­рального атома, що має таке ядро.

40.9. Енергія зв’язку ядра фтору дорівнює а ядра кисню Визначити, яку найменшу енергію треба затратити, щоб відірвати один протон від ядра фтору.

40.10. Ядро нейтрального атома складається із трьох протонів і двох нейтронів. Енергія зв’язку ядра Визначити масу цього атома.

ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ

Основні формули

1. Символічний запис ядер­ної реакції

,

або

,

де і – вихідне і кін­цеве ядра відповідно з зарядо­ви­ми числами і і масо­вими числами і ; і – час­тинки, які бомбардують і ви­пус­каються в ядерній реакції.

2. Енергія ядерної реакції

де , – маси спокою ядра мішені і бомбардувальної частин­ки; , – маси спокою про­дуктів реакції; , – кінетичні енергії відповідно ядра-

мішені і бомбардувальної час­тинки; , – кіне­тичні енергії ядра-продукту роз­кладу і вилітаючої частинки.

Приклад розв'язання задачі

Знайти енергію реакції

якщо відомо, що кінетичні енергії протона і яд­ра гелію i що ядро гелію вилетіло під кутом до напрямку руху протона. Ядро-мі­шень нерухомe.

Розв'язання

Енергія реакції є різниця між сумою кінетичних енергій ядер – продуктів реакції і кіне­тичною енергією ядра, що ви­літає:

В цьому виразі невідома кі­нетична енергія літію. Для її визначення використаємо

закон збереження імпульсу

Вектори і за умовою задачі взаємно перпенди­кулярні і разом з вектором утворюють прямокутний трикут­ник. Тому

Виразимо в цій рівності ім­пульси ядер через їх кінетичні енергії:

Отже,

звідки

В результаті

Задачі контрольної роботи

41.1. При співударі -фотона з дейтерієм останній може розще­питися на два нуклони. Написати рівняння ядерної реакції і визначити мінімальну енергію -фотона, який здатний викликати таке роз­щеплення.

41.2. Визначити енергію ядерної реакції

якщо відомо, що енергія зв'язку ядра берилію , а ядра

41.3. Знайти енергію ядерної реакції

якщо енергія зв'язку ядра азоту а ядра вуглецю

41.4. При ядерній реакції

звільняється енергія Нехтуючи кінетичними енергіями ядер берилію і гелію і приймаючи їх сумарний імпульс таким, що дорів­нює нулеві, знайти кінетичні енергії продуктів розпаду.

41.5. Нехтуючи кінетичними енергіями ядер дейтерію і приймаючи їх сумарний імпульс таким, що дорівнює нулеві, визначити кінетичні енергії та імпульси продуктів реакції

41.6. Радіоактивне ядро магнію випустило позитрон і нейтрино:

Визначити енергію b+-розпаду ядра.

41.7. Написати термоядерні реакції утворення гелію з тритію й дей­терію і підрахувати, яка кількість енергії в кіловат-годинах виділиться під час утворення гелію.

41.8. Яка маса урану витрачається за добу на атомній елект­ростанції потужністю ? ККД станції . При кож­ному поділі виділяється енергія

41.9. Яку масу води можна нагріти від до кипіння, якщо використати все тепло, що виділяється при реакції при повному розпаді літію?

41.10. Знайти енергетичну потужність атомної електростанції, що витрачає масу урану за добу, якщо ККД станції до­рівнює ?

Маса нейтральних атомів (а.о.м.)

Нейтрон		1,00867	Берилій		9,01219 10,01354
Протон		1,00728	Вуглець		12,00000 13,00335
Водень		1,00783 2,01410 3,01605	Азот		14,00307
Гелій		3,01603 4,00260	Натрій		21,99444 22,98977
Літій		6,01513 7,01601	Магній		22,99414

Основні фізичні сталі

Гравітаційна стала
Швидкість світла у вакуумі
Число Авогадро
Універсальна газова стала
Стала Больцмана
Заряд електрона
Маса спокою електрона
Маса спокою протона
Електрична стала
Магнітна стала
Стала Стефана-Больцмана
Стала Планка

Стала Рідберга