Кінематика коливального руху
x = A - рівняння гармонічного коливального руху,
x – зміщення тіла від положення рівноваги,
А – амплітуда, максимальне зміщення тіла від положення рівноваги,
- фаза коливання, задає положення тіла в будь який момент часу,
- початкова фаза, задає положення тіла в момент часу t = 0,
- циклічна частота,
Т – період коливання (час одного повного коливання, або час, за який фаза змінюється на 2 рад),
- лінійна частота, кількість коливань в одиницю часу, = 1/T,
V = dx/dt = A + ) – швидкість коливального руху,
a = d2x/dt2 = -A 2 + ) – прискорення коливального руху.
При складанні коливань однакового напрямку:
x1 = A1 + , x2 = A2 + ),
Aр = - амплітуда результуючого коливання.
tg = (A1sin +A2sin ) / (A1cos +A2cos ) - фаза результуючого коливання.
Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях з амплітудами А1 та А2 і початковими фазами та :
Динаміка коливального руху
Диференціальне рівняння гармонічних вільних коливань:
m .x'' = - k . x, або x''' + х = 0,
m – маса тіла,
k – коефіцієнт квазіпружної сили,
= k/m – власна частота гармонічних коливань.
Повна енергія: E = En + Ek = Enmax = Ekmax
En = k . x2/2 = k . A2 . sin2( )/2,
Ek = m . V2/2 = m . A2 . . cos2( )/2,
Enmax = k . A2/2 , Ekmax = m . A2 . 2/2.
Періоди коливань:
пружинного маятника Т = 2 . . ,
математичного маятника Т = 2 . . ,
де ι – довжина математичного маятника,
фізичного маятника Т = 2 . .
де I – момент інерції маятника відносно його осі обертання,
m – маса тіла,
а – відстань від центра мас тіла до осі обертання маятника.
Диференціальне рівняння загасаючих коливань:
m . x'' = - k . x - r . , або x'' + 2 . . + х = 0,
= r/2m – коефіцієнт загасання.
Рівняння загасаючих коливань:
x = A(t) . cos( t + ),
A(t) = А0. e - ,
А0 - амплітуда в момент часу t = 0.
= ln = Т – логарифмічний декремент загасання.
A(t) та A(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відстоять по часу одне від одного на період.
Диференціальне рівняння вимушених коливань:
m . x'' = - k . x - r . + F0. cos t ,
або
x'' + 2 . . + х = f0. cos t,
F0 . cos t – зовнішня періодична сила, яка викликає вимушені коливання.
А = f0/ - амплітуда вимушених коливань,
рез = - резонансна частота,
А рез = f0/(2 . . ) – резонансна амплітуда.
Добротність Q = = /Nе,
Nе – число коливань за час, коли амплітуда зменшується в е разів.
- час релаксації (час, за який амплітуда зменшується в е разів).
Пружні хвилі
Процес розповсюдження коливань у суцільному середовищі називається хвильовим процесом або, хвилею.
Рівняння плоскої хвилі:
= A . cos (t - x/V) = A . cos( t - kx),
- зміщення точки середовища з координатою x в момент часу t,
- кругова частота,
V – швидкість розповсюдження коливань в середовищі (фазова швидкість),
V = dx/dt = /k,
k = 2 - хвильове число,
= V . T - довжина хвилі,
D = 2 .Dx/ - різниця фаз коливань двох точок середовища, відстань між якими (різниця ходу) Dх.
Рівняння стоячої хвилі:
= A . cos( .x/V). cos t = A . coskx. cos t
Фазова швидкість поздовжніх хвиль в пружних середовищах:
- в твердих тілах: V = ,
де Е – модуль Юнга, - густина речовини,
- в газах: V = = ,
- коефіцієнт Пуасона ( = Сp/Сv),
R – універсальна газова стала,
Т – температура,
- молярна маса газу,
Р – тиск.
Групова швидкість: U = d /dk – швидкість руху групи хвиль, утворюючих в кожний момент часу локалізований в просторі хвильовий пакет,
U = V - . dV/d - зв'язок між фазовою та груповою швидкостями.
Середня об'ємна густина енергії:
= . . A2/2,
Вектор Умова: ,
j = DФ/DS | - густина потоку енергії,
DФ = DW/Dt – потік енергії,
DW – енергія хвилі,
DS | - площина, перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі.
Приклади розв'язку задач
Приклад 1. Точка виконує гармонічні коливання з частотою = 10 Гц. В момент, прийнятий за початковий, точка мала максимальне зміщення xmax = 1 мм. Написати рівняння коливань точки.
Розв'язок
Рівняння гармонічних коливань має вигляд:
x = Аsin( t + ), (1.13)
де А – амплітуда,
- циклічна частота,
t - час,
- початкова фаза.
По визначенню амплітуда коливань:
А = xmax, (1.14)
= 2 (1.15)
Для моменту часу t = 0 формула (1.13) приймає вигляд:
xmax = Аsin , (1.16)
Звідки початкова фаза:
= arcsin(xmax/А) = arcsin1,
або
= (2k + 1) /2, (k = 0,1,2,3...).
Зміна фази на 2 не змінює стан точки, що коливається, тому можна прийняти:
= /2. (1.17)
З урахуванням рівнянь (1.14) - (1.17) рівняння коливань приймає вигляд:
x = 10-3 sin(20 t + /2), (м)
Приклад 2. Плоска хвиля розповсюджується зі швидкістю V = 20 м/с. Дві точки знаходяться на відстанях х1 = 12м та х2 = 15м від джерела коливань, коливаються з різницею фаз = 0,75 рад. Знайти довжину хвилі , написати рівняння хвилі та знайти зміщення вказаних точок в момент часу t = 1,2с, якщо амплітуда коливань А = 0,1м.
Розв'язок
Точки, що знаходяться одна від одної на відстані довжини хвилі , коливаються з різницею фаз 2 ; точки, що знаходяться одна від одної на довільній відстані х, коливаються з різницею фаз, що дорівнює:
= Dх . / = (х2 - х1) . / , (1.18)
звідки
= (х2- х1) / . (1.19)
= (15 - 12)/0,75 = 8м.
Циклічна частота = /Т, Т = /V, отже:
= 2 V/
= 2 .20/8 = 5 с-1
Знаючи амплітуду А, циклічну частоту та швидкість розповсюдження хвилі V, записуємо рівняння плоскої хвилі:
y = 0,1 cos5 (t - x/20), (м) (1.20)
Щоб знайти зміщення вказаних точок, підставляємо в рівняння (1.20) значення t та x:
y1 = 0,1cos5 (1,2 - 12/20) = 0,1cos3 = - 0,1м,
y2 = 0,1cos5 (1,2 - 15/20) = 0,1cos2,25 = 0,071м.
Приклад 3. Період загасаючих коливань Т = 4с, логарифмічний декремент загасання = 1,6; початкова фаза = 0. При t = Т/4 зміщення точки х = 4,5 см. Написати рівняння цього коливального руху.
Розв'язок
Рівняння загасаючих коливань має вигляд:
x = А0 sin( t + ), (1.21)
В нашому випадку = 2 /Т = /2, = 0, = /Т = 1,6/4 = 0,4 с-1.
Амплітуду А0 знайдемо, підставивши в (1) х = 4,5см, t = Т/4 = 1с, а також = 0,4 с-1, = /2 та = 0.
4,5 = А0 -0,4 sin /2 = А0 -0,4,
А0 = 4,5/ -0,4 = 6,7см.
Таким чином рівняння (1.21) приймає вигляд:
x = 6,7 -0,4t sin t /2 см.
Приклад 4. Тіло масою 10 г здійснює загасаючі коливання. Початкова амплітуда А0 = 7 см, початкова фаза = 0, коефіцієнт загасання = 1,6 с-1. Під дією зовнішньої періодичної сили F встановлюються вимушені коливання x = 5 sin(10 t - 3 /4) см. Знайти рівняння власних коливань та зовнішньої періодичної сили.
Розв'язок
Рівняння власних коливань має вигляд:
x = А0 sin t,
Зсув по фазі між власними та вимушеними коливаннями за умовою дорівнює - 3 /4, отже
tg = . /( - ) = tg(- 3 /4) = 1,
звідки
= ,
оскільки
= 10 , а = 1,6 с-1, то = 10,5 .
Тоді рівняння власних коливань має вигляд:
x = 7 -1,6t sin10,5 t, см.
Рівняння зовнішньої періодичної сили має вигляд:
F = F0 sin t,
де
F0 = A.m = 72.10-3 Н = 72 мН.
Тоді рівняння зовнішньої періодичної сили буде мати вигляд:
F = 72 sin10 t, мН.