Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Тема

Математическая статистика

Относительная частота события
P*(A)=m/n

где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.

Вероятность случайного события

P(A)=lim(m/n) (при n→∞)

Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий

P( А или В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей)

P(А и В) = Р(А)Р(В).

Р(АиВ)=Р(В/А)Р(А)

Для двух событий вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испы-таниях (биномиальное распределение)

Pin=n(n-L)•••(n_-L+1)PL(L-P)n-L ⁄ L!,

где Р — вероятность наступления события А.

Распределением дискретной случайной величины называют сово-

купность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей:

p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….

Условие нормировки для дискретной случайной величины, имею­щей п значений,

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Среднее значение дискретной случайной величины

‹X›=(m1 1+m2x2+…+mnxn)/n=x1m1/n+..+xnmn/n

где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значение xi.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

M(X)= x1p1 +..+xnpn

Дисперсия дискретной случайной величины

D(X) = M{[X-M(X)]2},

D(X) = M(X2)-[M(X)]2,

Среднее квадратическое отклонение

S(X)=(D(X))1/2

Вероятность того, что непрерывная случайная величина прини­мает какое-либо значение в интервале (а, b)

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей) .

Условие нормировки для непрерывной случайной величины

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Функция распределения случайной величины

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Дисперсия непрерывной случайной величины

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru  
где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение. График закона распределе­ния представлен на рис.  

Функция распределения по нормальному закону

F(x)=Ф((x-a)/σ)

Значения функции Ф даны в табл.

Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравита­ционном поле, на высоте h (барометрическая формула)

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

где рh— давление на высоте h=0

Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однород­ном гравитационном поле, на высоте h

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики - student2.ru

где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О

Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение ге­неральной совокуп-ности)

‹ xв› - ε< μ < ‹ xв› + ε,

где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε харак­теризует точность оценки и называется доверительным интер­валом

При большой выборке (n>30)

τ=(εn1/2)/σ

где σ - генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое откло­нение

Связь между τ и P Ф(τ)=(1+P)/2

Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке

n≤30

ε=ts/n1/2

Здесь s2=nσb2/(n-1)— исправленная выборочная дисперсия,

где σb2 — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение случайной величины.Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами,

Наши рекомендации