Пространственная дискретизация с целью оцифровывания сигнала

Обычно используется амплитудно-импульсная модуляция для решения задачи дискретизации временного импульсного сигнала, полученного в процессе сканирования пространственного изображения. Наше изображение мы преобразовываем в строку; строку – в электросигнал; а сам этот электрический сигнал мы дискретизируем.

Модуляция как способ дискретизации изображения. Модель и описание дискретного пространственного сигнала при амплитудной импульсной модуляции.

В процессе сканирования в результате строчной развертки, мы получаем аналоговое изображение, представленное в форме электрического временного сигнала. Кадровая развертка осуществляемая при сканировании является первичной дискретизацией пространственного сигнала и позволяет нам представить пространственный двумерный сигнал в виде непрерывной строки, выраженной в виде одномерного электрического сигнала. Этот сигнал пока еще является аналоговым. Для преобразований этого аналогового сигнала в дискретный сигнал производится амплитудно-импульсная модуляция уже этого электрического сигнала; при которой сигнал представляется в виде последовательности импульсов с различной амплитудой, зависящей от величины исходного сигнала. Так как в процессе сканирования при постоянной скорости сканирования мы линейно преобразуем пространственные координаты изображения в координаты временных отсчетов сигнала, то существует соответствие между дискретизацией временного электрического сигнала и пространственной дискретизацией временного изображения. В какой-то степени мы можем восстановить пространственный сигнал на основе электрического сигнала.

Таким образом, временная дискретизация путем импульсной обработки сигнала аналогична пространственной дискретизации, то есть – выделению в этом изображении дискретных элементов вдоль строки изображения –пикселей (отдельных элементов).

Рассмотрим математический расчет всего вышесказанного.

Если мы имеем аналоговую функцию:

И набор импульсов:

,

То мы их перемножаем по формуле . И получаем такой набор циклов:

В соответствии с теоремой обратной свертки, спектр произведения функции равен спектру свертки.

Пусть функция имеет Фурье-преобразование :

и , то спектр свертки будет равен:

.

В результате спектр преобразованной функции представляет собой сумму большого количества исходных спектров, которые смещены на , при чем - это период функции.

Если наша функция имеет следующий спектр:

То в результате нашего импульсного преобразования мы получим серию таких же спектров:

Из этого следует, что полоса пространственных частот нашей системы, которая необходима для прохождения нашего сигнала, сильно увеличивается при амплитудно-импульсной дискретизации этого сигнала. Если мы хотим без потерь передать этот сигнал, то она должна быть бесконечно большой, что не реально. Поэтому нужно рассматривать методы восстановления нашего сигнала и те проблемы и ограничения, которые при этом возникают.

Процесс восстановления сигнала – это процесс представления нашего исходного сигнала после прохождения его через систему. Методы восстановления сигнала могут быть разными.

Простейшие методы восстановления сигнала сводятся к тому, что с помощью фильтра пространственных частот выделяется один исходный спектр, который полностью пропускается. Все остальные спектры нивелируются – отсекаются. В начале такого идеального фильтра используется фильтр с п-образной полосой пропускания, при этом граничное этого фильтра должна быть больше, или равна исходного спектра.

Рассмотрим следующие методы восстановления нашего сигнала с помощью фильтра.

1. Разложенные спектры разнесены до такого расстояния, что они не прерываются. Это возможно тогда, когда - это величина достаточно большая и будет превышать граничное. То есть: чем меньше х, тем больше . х – это период отсчета, а - это частота отсчета. Если х будет мал, то эти отсчеты будут расположены очень близко.

В этом случае требования к системе сканирования и ее разрешению будут повышенными. Также будут повышены требования к частотной полосе пропускания компьютерной цифровой системы.

1. Прерывающиеся спектры. Когда мы экономим на нашей системе, то мы получаем прерывающиеся спектры.

При выделении исходного спектра такое перекрытие с помощью идеального фильтра перекрытия спектра приводит к тому, что помимо основного спектра у нас будут выделяться побочные спектры, а именно – их высокочастотные составляющие. Такое выделение приведет к взаимодействию этих сигналов. Появятся ложные решетки, детерминированные шумы.

Этого можно избежать, изменяя широту фильтра. Мы можем сузить полосу пропускания нашего фильтра так, чтобы отсечь побочные фильтры. Однако в этом случае будут потеряны высокочастотные составляющие – т. е. будет потеряна резкость.

В некоторых случаях это целесообразно - чтобы убрать эти детерминированные помехи.

3. Когда мы оптимизируем наш фильтр так, что минимизируются и потери и помехи.

4. Оптимальный случай. В этом случае дискретизация изображения выбирается таким образом, чтобы разложенные спектра были так расположены, чтобы граничные области не соприкасались между собой. Это оптимально так, что мы не имеем ни потерь, ни помех. При этом сама система также является оптимизированной, так как частотная полоса пропускания и система сканирования тоже являются оптимизированной.

Эта система связана с системой отсчета или системой Котельникова или системой Найквиста.

Система Котельникова – формулировка.

В любую функцию , имеющую ограниченный спектр можно передать с любой точностью при помощи следующие друг за другом через интервалы х, равные .