Барометрическая формула. Распределение

Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р(рис. 67), то на высоте h+dh оно равно p + dp(при dh> 0 dp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и p + dpравна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м2:

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru

где р — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru (45.1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = (m/M)RT (т — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru

Подставив это выражение в (45.1), получим

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2(рис. 67), т. е.

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru Барометрическая формула. Распределение - student2.ru (45.2)

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru

Рис. 67

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru (45.3)

где р— давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (42.6) p = nkT:

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru

где n — концентрация молекул на высоте h, n0 — то же, на высоте h = 0. Так как М = m0NA (NА — постоянная Авогадро, m0 — масса одной молекулы), a R=kNA, то

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru (45.4)

где m0gh = II — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

Барометрическая формула. Распределение - student2.ru (45.5)

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Бели частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Наши рекомендации