Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Одержати субстанціональне диференціальне рівняння балансу (10.10)

Задача 1. Одержати субстанціональне диференціальне рівняння балансу (10.10).

Розв’язання. Будемо виходити з локального диференціального рівняння балансу (10.8) та його окремого випадку (10.9). Рівняння (10.8) можна записати як

. (1)

З векторного аналізу маємо

,

тому (1) набирає вигляду

і з урахуванням (10.9):

. (2)

Частинну похідну виразимо через повну (субстанціональну) похідну , яка враховує зміну з часом величини b також і за рахунок переносу цієї величини зі швидкістю :

. (3)

Отже, підставляючи з (3) у (2), одержимо після скорочення шукане рівняння (10.10).

Задача 2. Одержати вираз для утворення ентропії за рахунок дифузії довільного числа компонентів речовини (другий доданок правої частини (10.18)).

Розв’язання. Залишаючи в основному рівнянні (10.3) останній доданок, зміну з часом ентропії (за рахунок дифузії частинок і-го сорту) можна записати як

. (1)

У відсутності джерел частинок і-го компонента ( ) з (10.10) матимемо

, (2)

де - масова густина частинок і-го сорту, - відповідна густина дифузійного потоку. Помножуючи (1) на r_і , з урахуванням (2) запишемо

. (3)

Маючи на увазі , перепишемо (3) у вигляді

. (4)

Узявши в (4) суму за і та порівнявши з (10.11), отримуємо утворення ентропії за рахунок дифузії:

, (5)

а також відповідну густину потоку ентропії:

. (6)

Задача 3. В однорідному стержні на його кінцях підтримується постійна різниця температур . Використовуючи принцип Пригожина для стаціонарних слабо нерівноважних станів, одержати розподіл температури вздовж стержня.

Розв’язання. Для отримання повного утворення ентропії Р у процесі теплопровідності проінтегруємо одновимірний аналог (10.16) за довжиною стержня. Матимемо

(1)

і з урахуванням лінійного феноменологічного співвідношення (перший доданок правої частини (10.23)) :

, (2)

де - довжина стержня.

Згідно з принципом Пригожина залежність повинна мінімізувати функціонал (2). Таку функцію можна знайти як розв’язок основного рівняння варіаційного числення

. (3)

У нашому випадку - підінтегральна функція в (2), , , так що . беремо з (10.26). Отже, рівняння (3) набирає вигляду

,

звідки

, (4)

що з урахуванням дає

. (5)

Отже, функція , яка мінімізує повне утворення ентропії Р, лінійна за x, тобто величина Р мінімальна, коли тепловий потік є однорідним вздовж всієї довжини стержня.

Зазначимо, що результат (5) знаходиться у відповідності з рівнянням теплопровідності , оскільки з цього рівняння при виконанні (5) випливає - умова стаціонарності процесу.

Задача 4. Одержати співвідношення (10.38) для лінійного режиму.

Розв’язання. Використовуючи лінійний закон (10.19) і співвідношення Онсагера (10.21), для з (10.37) маємо

,

що й потрібно було довести.

10.3. Задачі для самостійного розв’язування

10.1. Визначити, при яких значеннях градієнта та швидкості зміни температури рідкого металу, що охолоджується від температури 10³ К, він не є локально рівноважною системою. Довжина вільного пробігу l і середня швидкість електрона відповідно дорівнюють 10^-5см і 10⁸см/c.

10.2. Використовуючи закон Фур’є , одержати рівняння теплопровідності

,

в якому С - теплоємність одиниці об’єму.

10.3. Одержати утворення ентропії при проходженні струму в електричному колі (третій доданок правої частини (10.18)).

10.4. Одержати утворення ентропії за рахунок протікання хімічних реакцій (четвертий доданок правої частини (10.18)).