Распределения Максвелла и Больцмана

Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям).В равновесном состоянии параметры газа (давле­ние, объем и температура) остаются неизменными, однако микро­состояния — взаимное расположение молекул, их скорости — не­прерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной слу­чайной величиной, указать распределение молекул по скоростям.

Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости ux молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

 
  Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.28)

где т0 — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(uу ) и f(uz).

На основании формулы (2.15) можно записать вероятность то­го, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от ux до ux + duх:

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.29)

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.30)

аналогично для других осей

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.31)

Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проекции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.32)

Используя (2.28), из (2.31) получаем:

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ­цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.33)
Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.34)

и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежа­щее в интервале от u до u + du:

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей uв. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru или Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

откуда

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.35)

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru (2.36)

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож­но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ¥ (математические подробности опущены):

где М = т0 NA — молярная масса газа, R = k NA— универсальная газовая постоянная, NA — число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по u видоизменяется (рис. 2.6; Т1 < Т2). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле­кул, скорости которых лежат в определенном интервале Du. Полу­чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро­ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле­кул, скорости которых заключены в некотором интервале du, к общему числу N молекул:

 
  Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.37)

Из (2.34) и (2.37) следует, что

 
  Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.38)

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от и: до i>2. Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.39)

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от u1 до u2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей du достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием du.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (du = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана.Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы mgh:

 
  Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

(2.40)

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо­положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен­циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

Распределения Максвелла и Больцмана - student2.ru

В первом распределении в показателе степени отношение кине­тической энергии молекулы к kT, во втором — отношение потен­циальной энергии к kT.

Наши рекомендации